数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

当问题具有以下特征时，动态规划（dynamic programming）很有用：

  1. A只有随机输入
  2. B重叠子问题和最优子结构
  3. C完全没有子问题，因此一步就能解决
  4. D只有一个循环
2.算法与复杂度困难

关于类 NP 的哪个定义是正确的？

  1. A给定证书时，其"是"答案能在多项式时间内验证的判定问题
  2. B不能在多项式时间内求解的问题
  3. C非多项式的问题
  4. D任何算法都无法求解的问题
3.数据结构中等

哈希表在负载因子超过阈值后进行再哈希（rehash）时会发生什么？

  1. A对现有的键原地排序
  2. B删除最旧的键以腾出空间
  3. C只把发生冲突的键移到表末尾的新溢出链表中
  4. D分配一个更大的表，并把每个键重新插入
4.数据结构困难

一个动态数组在满时容量翻倍。为什么许多实现只在它只有四分之一满时才缩容，而不是一半满时？

  1. A为了使数组保持有序
  2. B为了避免在边界附近交替进行 push 和 pop 时反复调整大小
  3. C因为内存分配器只能以块的四分之一为单位释放内存
  4. D因为在一半满时减半会丢失元素
5.图论中等

一个连通图有 7 个顶点和 8 条边。必须去掉多少条边 k 才能剩下一棵生成树？

|V| = 7|E| = 8
k =
6.图论困难
5711125121311ABCDEF

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 F 的最短路径的长度 d(F)。

起点：A终点：F
d(F) =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: B · 重叠子问题和最优子结构

为什么是这个答案

存储重叠子问题的结果（记忆化或制表）可以避免重复计算，把指数时间算法变成多项式时间算法。

答案

B · 重叠子问题和最优子结构
2.算法与复杂度

答案: A · 给定证书时，其"是"答案能在多项式时间内验证的判定问题

为什么是这个答案

对于 NP 问题，一个候选解（证书）可以被快速检验，例如验证给定的赋值是否满足一个布尔公式。

答案

A · 给定证书时，其"是"答案能在多项式时间内验证的判定问题
3.数据结构

答案: D · 分配一个更大的表，并把每个键重新插入

为什么是这个答案

由于下标是对表大小取模计算的，所有键都必须重新哈希到新的更大的表中；采用翻倍策略时，均摊代价仍为 O(1)。

答案

D · 分配一个更大的表，并把每个键重新插入
4.数据结构

答案: B · 为了避免在边界附近交替进行 push 和 pop 时反复调整大小

为什么是这个答案

在一半满时缩容，可能使这样的操作序列中每次操作都触发一次调整大小；1/4 与满之间的间隔使均摊代价保持在 O(1)。

答案

B · 为了避免在边界附近交替进行 push 和 pop 时反复调整大小
5.图论

答案: k = 2

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

生成树的边数

7 − 1 = 6

要去掉的边数

k = 8 − 6 = 2

答案

k = 2
6.图论

答案: d(F) = 28

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 5
B (5): C: 12, D: 16, E: 16
C (12)
D (16): F: 28
E (16)
F (28)

最短路径

A → B → D → F
d(F) = 28

答案

d(F) = 28

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