数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

关于一个没有可达基本情况的递归函数，下列哪个说法是正确的？

  1. A它会不断调用自身，直到调用栈溢出
  2. B它的运行时间为 O(1)
  3. C编译器总会把它变成能安全结束的循环
  4. D它会自动返回 0
2.算法与复杂度困难

Cook–Levin 定理确立了什么？

  1. A布尔可满足性问题（SAT）是 NP 完全的
  2. B每个 NP 问题都能在指数时间内求解
  3. CP 不等于 NP
  4. D停机问题是不可判定的
3.数据结构中等

一个道路网络有 100,000 个路口，每个路口大约与另外 4 个路口相连。哪种表示方法最合适？

  1. A一个由边组成的二叉堆
  2. B邻接矩阵
  3. C邻接表
  4. D一个有序的顶点数组
4.数据结构困难

伸展树（splay tree）在每次访问之后做什么？

  1. A把整棵树重建成平衡形式
  2. B把被访问的节点移到叶子
  3. C通过旋转把被访问的节点移到根
  4. D对查找路径上的节点重新着色
5.图论中等

一棵树有 2 个度为 3 的顶点, 3 个度为 4 的顶点, 2 个度为 5 的顶点，其余所有顶点都是叶子（度为 1）。它有多少片叶子 L？

2 × deg 33 × deg 42 × deg 5
L =
6.图论困难
1813112104ABCDE

克鲁斯卡尔算法构造最小生成树。点选它加入的第 3 条边；被跳过的边不计。

k = 3
  1. 1边 AB
  2. 2边 AC
  3. 3边 BC
  4. 4边 BD
  5. 5边 CE
  6. 6边 DE
  7. 7边 BE

3溶液

1.算法与复杂度

答案: A · 它会不断调用自身，直到调用栈溢出

为什么是这个答案

没有基本情况，递归就永远不会停止；实际上栈帧所需的内存会耗尽，程序随之崩溃。

答案

A · 它会不断调用自身，直到调用栈溢出
2.算法与复杂度

答案: A · 布尔可满足性问题（SAT）是 NP 完全的

为什么是这个答案

Cook 和 Levin 各自独立地证明了 NP 中的每个问题都能在多项式时间内归约到 SAT，因此 SAT 是第一个已知的 NP 完全问题。

答案

A · 布尔可满足性问题（SAT）是 NP 完全的
3.数据结构

答案: C · 邻接表

为什么是这个答案

矩阵需要 1010 个单元，几乎全是空的；邻接表只存储大约 400,000 个边表项。

答案

C · 邻接表
4.数据结构

答案: C · 通过旋转把被访问的节点移到根

为什么是这个答案

伸展操作通过旋转把被访问的节点移到根；单次操作可能代价为 O(n)，但均摊代价为 O(log n)。

答案

C · 通过旋转把被访问的节点移到根
5.图论

答案: L = 16

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

树的握手引理

L + 28 = 2(L + 7) − 2
L = 16

答案

L = 16

捷径：L = 2 + Σ (d − 2)，对度 d ≥ 3 的顶点求和。

6.图论

答案: 边 BE

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

1. AB (1)
2. CE (2)
3. BE (4)
4. DE (10)

边的序号 3

BE

答案

边 BE

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