数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

均摊分析衡量的是什么？

  1. A在随机输入上的期望代价
  2. B算法在最好输入上的代价
  3. C序列中任何位置上单个最昂贵操作的代价
  4. D在最坏情况的操作序列上，每个操作的平均代价
2.算法与复杂度困难

关于类 P 的哪个定义是正确的？

  1. A能由确定性算法在多项式时间内求解的判定问题
  2. B能够并行求解的问题
  3. C在每台计算机上都需要指数时间的问题
  4. D其解可以被验证、但绝不能在多项式时间内找到的问题
3.数据结构中等

如何向二叉堆中插入一个新元素？

  1. A通过把所有更大的元素右移一位，将它插入到有序位置
  2. B从头重建整个堆
  3. C把它放在根上，再将其下沉（sift down）
  4. D把它放在数组末尾，只要它违反堆性质就将其上浮（sift up）
4.数据结构困难

与有序链表相比，跳表（skip list）的主要优势是什么？

  1. A利用多层前向指针，实现期望 O(log n) 的查找
  2. B它以无序方式存储键
  3. C保证 O(1) 的查找，因为每个节点都存有指向其他所有节点的指针
  4. D它不占用额外内存
5.图论中等

一个连通图有 17 个顶点和 24 条边。必须去掉多少条边 k 才能剩下一棵生成树？

|V| = 17|E| = 24
k =
6.图论困难
820107251ABCDE

克鲁斯卡尔算法构造最小生成树。点选它加入的第 4 条边；被跳过的边不计。

k = 4
  1. 1边 AB
  2. 2边 AC
  3. 3边 BC
  4. 4边 BD
  5. 5边 CE
  6. 6边 DE
  7. 7边 BE

3溶液

1.算法与复杂度

答案: D · 在最坏情况的操作序列上，每个操作的平均代价

为什么是这个答案

均摊分析把少数昂贵操作的代价分摊到许多廉价操作上，从而对任意操作序列给出有保证的平均值。

答案

D · 在最坏情况的操作序列上，每个操作的平均代价
2.算法与复杂度

答案: A · 能由确定性算法在多项式时间内求解的判定问题

为什么是这个答案

P 包含具有确定性多项式时间算法的判定问题，例如检查一个图是否连通。

答案

A · 能由确定性算法在多项式时间内求解的判定问题
3.数据结构

答案: D · 把它放在数组末尾，只要它违反堆性质就将其上浮（sift up）

为什么是这个答案

在末尾添加可以使树保持完全；与父节点交换可在 O(log n) 步内恢复顺序。

答案

D · 把它放在数组末尾，只要它违反堆性质就将其上浮（sift up）
4.数据结构

答案: A · 利用多层前向指针，实现期望 O(log n) 的查找

为什么是这个答案

随机化的层级使查找能够跳过许多节点，从而使查找、插入和删除的期望时间为 O(log n)。

答案

A · 利用多层前向指针，实现期望 O(log n) 的查找
5.图论

答案: k = 8

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

生成树的边数

17 − 1 = 16

要去掉的边数

k = 24 − 16 = 8

答案

k = 8
6.图论

答案: 边 AB

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

1. BE (1)
2. CE (2)
3. DE (5)
4. AB (8)

边的序号 4

AB

答案

边 AB

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