数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

在活动选择问题中，哪条贪心规则总能得到数量最多的互不重叠的活动？

  1. A选择最早结束的活动，然后在与之相容的活动中重复这一步
  2. B先选择与其他活动重叠最少的活动，然后在与之相容的活动中重复这一步
  3. C先选择最短的活动
  4. D选择最早开始的活动
2.算法与复杂度困难

当 n 很大时，n! 与 2ⁿ 相比如何？

  1. An! 是 O(n²)
  2. Bn! 比 2ⁿ 增长得快
  3. C两者以相同的速率增长
  4. D2ⁿ 比 n! 增长得快
3.数据结构中等

为什么在实践中遍历数组往往比遍历同样长度的链表快得多？

  1. A链表总是把元素存储在磁盘上
  2. B数组遍历总共是 O(1)，而链表遍历是 O(n)
  3. C数组元素是连续存放的，因此能很好地利用 CPU 缓存
  4. D数组比较数值所用的指令更少
4.数据结构困难

在含 n 个元素的二叉最小堆中查找任意一个键需要多长时间？

  1. AO(log log n)
  2. BO(log n)
  3. CO(1)
  4. DO(n)
5.图论中等

一个连通图有 17 个顶点和 28 条边。必须去掉多少条边 k 才能剩下一棵生成树？

|V| = 17|E| = 28
k =
6.图论困难
91512697535ABCDEF

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 F 的最短路径的长度 d(F)。

起点：A终点：F
d(F) =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: A · 选择最早结束的活动，然后在与之相容的活动中重复这一步

为什么是这个答案

选择最早结束时间可以用交换论证证明是最优的；其他规则都有反例。

答案

A · 选择最早结束的活动，然后在与之相容的活动中重复这一步
2.算法与复杂度

答案: B · n! 比 2ⁿ 增长得快

为什么是这个答案

当 n ≥ 4 时，n! 超过 2ⁿ，而且两者之比无界地增长，因为 n! 每多出的一个因子都大于 2。

答案

B · n! 比 2ⁿ 增长得快
3.数据结构

答案: C · 数组元素是连续存放的，因此能很好地利用 CPU 缓存

为什么是这个答案

连续的内存带来良好的引用局部性，而链表节点可能分散各处，导致大量缓存未命中。

答案

C · 数组元素是连续存放的，因此能很好地利用 CPU 缓存
4.数据结构

答案: D · O(n)

为什么是这个答案

堆没有规定哪棵子树包含某个键，因此在最坏情况下必须检查所有节点；只有最小值能被快速找到。

答案

D · O(n)
5.图论

答案: k = 12

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

生成树的边数

17 − 1 = 16

要去掉的边数

k = 28 − 16 = 12

答案

k = 12
6.图论

答案: d(F) = 17

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 9, C: 15
B (9): D: 15, E: 14
E (14): F: 17
C (15)
D (15)
F (17)

最短路径

A → B → E → F
d(F) = 17

答案

d(F) = 17

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