数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

在无权图上进行广度优先搜索（BFS）可以求出：

  1. A从起始节点出发、按边数计的最短路径
  2. B所有图的拓扑序
  3. C最小生成树
  4. D含负权重边的图中的最短路径
2.算法与复杂度困难

为什么当某些边权为负时，Dijkstra 算法可能给出错误结果？

  1. A它只适用于无向图
  2. B顶点被取出时距离就被确定，但之后的负权边仍可能给它一条更短的路径
  3. C每遇到一条负权边它就会陷入无限循环
  4. D优先队列中不能存储负数
3.数据结构中等

哈希表在负载因子超过阈值后进行再哈希（rehash）时会发生什么？

  1. A删除最旧的键以腾出空间
  2. B对现有的键原地排序
  3. C分配一个更大的表，并把每个键重新插入
  4. D只把发生冲突的键移到表末尾的新溢出链表中
4.数据结构困难

为什么不能简单地通过清除位来从标准布隆过滤器中删除元素？

  1. A布隆过滤器存储完整的元素，而这些元素一旦被哈希就无法再找回
  2. B布隆过滤器中的位在创建后不能更改
  3. C这些位可能同时属于其他元素，从而导致假阴性
  4. D删除会使假阳性率增加到 100%
5.图论中等
ABCDEF欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 6|E| = 9
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
61312107891ABCDEF

克鲁斯卡尔算法构造最小生成树。点选它加入的第 4 条边；被跳过的边不计。

k = 4
  1. 1边 AB
  2. 2边 AC
  3. 3边 BC
  4. 4边 CE
  5. 5边 DE
  6. 6边 DF
  7. 7边 EF
  8. 8边 BE

3溶液

1.算法与复杂度

答案: A · 从起始节点出发、按边数计的最短路径

为什么是这个答案

BFS 按照与源点的距离（边数）顺序访问节点，因此能在 O(V + E) 内求出无权最短路径。

答案

A · 从起始节点出发、按边数计的最短路径
2.算法与复杂度

答案: B · 顶点被取出时距离就被确定，但之后的负权边仍可能给它一条更短的路径

为什么是这个答案

贪心步骤依赖于非负权重，才能保证取出的距离是最终值；权重可能为负时应使用 Bellman–Ford。

答案

B · 顶点被取出时距离就被确定，但之后的负权边仍可能给它一条更短的路径
3.数据结构

答案: C · 分配一个更大的表，并把每个键重新插入

为什么是这个答案

由于下标是对表大小取模计算的，所有键都必须重新哈希到新的更大的表中；采用翻倍策略时，均摊代价仍为 O(1)。

答案

C · 分配一个更大的表，并把每个键重新插入
4.数据结构

答案: C · 这些位可能同时属于其他元素，从而导致假阴性

为什么是这个答案

清除一个共享的位会使另一个元素看起来不存在；计数布隆过滤器用计数器代替位，从而允许删除。

答案

C · 这些位可能同时属于其他元素，从而导致假阴性
5.图论

答案: 有欧拉通路，无回路

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 2

奇度顶点

C, D → 2
有欧拉通路，无回路

答案

有欧拉通路，无回路

欧拉通路从一个奇度顶点出发，在另一个奇度顶点结束。

6.图论

答案: 边 DF

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

1. BE (1)
2. AB (6)
3. DE (7)
4. DF (8)
5. CE (10)

边的序号 4

DF

答案

边 DF

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