数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

下面代码的时间复杂度是多少：for i = 1 to n: for j = 1 to i: 执行 O(1) 的工作？

  1. AO(n³)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.算法与复杂度困难

在有 V 个顶点、E 条边的图上，使用二叉堆的 Dijkstra 算法运行时间是多少？

  1. AO(V + E)
  2. BO((V + E) log V)
  3. CO(V³)
  4. DO(V × E)
3.数据结构中等

在用数组存储的二叉最小堆（索引从 0 开始）中，索引为 i 的节点的子节点位于：

  1. Ai + 1 和 i + 2
  2. Bi/2 和 i/2 + 1
  3. C2i 和 2i + 1
  4. D2i + 1 和 2i + 2
4.数据结构困难

在含 n 个元素的二叉最小堆中查找任意一个键需要多长时间？

  1. AO(1)
  2. BO(log n)
  3. CO(log log n)
  4. DO(n)
5.图论中等
ABCDEFG欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 7|E| = 10
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
ABCDEF

长度为 3 且起点和终点都是 A 的闭途径有多少条？途径可以重复顶点和边。把这个数记作 N。

M = 邻接矩阵L = 3
N =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: D · O(n²)

为什么是这个答案

内层循环体总共执行 n(n + 1) / 2 次，仍然是平方级的。

答案

D · O(n²)
2.算法与复杂度

答案: B · O((V + E) log V)

为什么是这个答案

共有 V 次 extract-min 和至多 E 次 decrease-key 操作，每次为 O(log V)；斐波那契堆可将其改进为 O(E + V log V)。

答案

B · O((V + E) log V)
3.数据结构

答案: D · 2i + 1 和 2i + 2

为什么是这个答案

对于从 0 开始的数组，左子节点位于 2i + 1，右子节点位于 2i + 2，父节点位于 ⌊(i − 1)/2⌋。

答案

D · 2i + 1 和 2i + 2
4.数据结构

答案: D · O(n)

为什么是这个答案

堆没有规定哪棵子树包含某个键，因此在最坏情况下必须检查所有节点；只有最小值能被快速找到。

答案

D · O(n)
5.图论

答案: 有欧拉通路，无回路

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 3

奇度顶点

A, G → 2
有欧拉通路，无回路

答案

有欧拉通路，无回路

欧拉通路从一个奇度顶点出发，在另一个奇度顶点结束。

6.图论

答案: N = 2

度：顶点的度是与它相连的边的条数。每条边有两个端点，所以度数之和等于边数的两倍：Σ deg(v) = 2|E|（握手引理）。因此奇度顶点的个数是偶数。Kn 有 n(n − 1)/2 条边，n 个顶点的 k-正则图有 nk/2 条边，n 个顶点的树有 n − 1 条边。

邻接矩阵

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 0 0
D: 0 1 0 0 1 0
E: 0 1 0 1 0 1
F: 0 0 0 0 1 0

再走一步

(M³)AA = 2·0 + 1·1 + 1·1 + 1·0 + 1·0 + 0·0 = 2

答案

N = 2

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