数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

一个问题具有最优子结构是什么意思？

  1. A该问题恰好有一个最优解，所有子问题共享这个解
  2. B最优解可以由其子问题的最优解构造出来
  3. C每个子问题的规模都相同
  4. D该问题可以在常数时间内求解
2.算法与复杂度困难

不可判定问题与难解问题有什么区别？

  1. A不可判定问题没有任何能处理所有输入的算法，而难解问题有算法，但太慢
  2. B难解问题无法被任何算法求解，而不可判定问题只需要指数时间
  3. C两者都意味着该问题根本没有算法
  4. D不可判定问题属于 NP，而难解问题属于 P
3.数据结构中等

哪种冲突解决方法将发生冲突的键存储在同一个桶的列表中？

  1. A线性探测（Linear probing）
  2. B双重哈希（Double hashing）
  3. C拉链法（Separate chaining）
  4. D二次探测（Quadratic probing）
4.数据结构困难

哪条性质使每棵 B 树都保持完全平衡？

  1. A每个节点只存储一个键
  2. B每个节点恰好有两个子节点
  3. C所有叶子都位于同一深度
  4. D键只存储在根中
5.图论中等

完全图 K4 有多少条不同的哈密顿回路 H？只是起点或方向不同的回路算作同一条。

K4
H =
6.图论困难
141841020196718ABCDEFG

求带权图的最小生成树的总权重 W。

|V| = 7|E| = 10
W =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: B · 最优解可以由其子问题的最优解构造出来

为什么是这个答案

贪心算法和动态规划要得出正确答案，都需要问题具有最优子结构。

答案

B · 最优解可以由其子问题的最优解构造出来
2.算法与复杂度

答案: A · 不可判定问题没有任何能处理所有输入的算法，而难解问题有算法，但太慢

为什么是这个答案

停机问题根本没有算法；TSP 这样的 NP 难问题可以用蛮力法求解，只是没有已知的多项式时间算法。

答案

A · 不可判定问题没有任何能处理所有输入的算法，而难解问题有算法，但太慢
3.数据结构

答案: C · 拉链法（Separate chaining）

为什么是这个答案

拉链法为每个桶维护一个链表（或其他结构）；开放寻址法则在表内寻找另一个空槽。

答案

C · 拉链法（Separate chaining）
4.数据结构

答案: C · 所有叶子都位于同一深度

为什么是这个答案

节点满时向上分裂，只有根分裂时树才会变高，因此所有叶子始终处于同一层。

答案

C · 所有叶子都位于同一深度
5.图论

答案: H = 3

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

计数

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

答案

H = 3
6.图论

答案: W = 52

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

BC (1): 取
CE (4): 取
GB (6): 取
GC (7): 跳过，会形成圈
BD (8): 取
DE (10): 跳过，会形成圈
AB (14): 取
GE (18): 跳过，会形成圈
EF (19): 取

总权重

W = 1 + 4 + 6 + 8 + 14 + 19 = 52

答案

W = 52

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