数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

说一个 O(n²) 算法也是 O(n³)，这正确吗？

  1. A不正确，因为当 n 很大时 n³ 小于 n²
  2. B不正确，因为 Big O 必须始终给出函数的确切增长率
  3. C正确，因为 Big O 是上界，而 n² 的增长不比 n³ 快
  4. D正确，但仅当 n 小于 100 时
2.算法与复杂度困难

旅行商问题如何分类？

  1. A它属于 P，因为 Dijkstra 算法通过把每个城市访问一次来求解它
  2. B判定版本是 NP 完全的，优化版本是 NP 难的
  3. C它是不可判定的
  4. D判定版本属于 P，但优化版本是 NP 完全的
3.数据结构中等

含 V 个顶点的图的邻接矩阵占用多少内存？

  1. AO(V²)
  2. BO(log V)
  3. CO(V + E)
  4. DO(E)
4.数据结构困难

从二叉搜索树中删除一个有两个子节点的节点，通常的做法是：

  1. A将它与根节点交换
  2. B用它的中序后继（或前驱）替换它，然后删除那个节点
  3. C删除整棵子树
  4. D从头重建它下面的整棵子树，并重新插入其中包含的每个键
5.图论中等

完全图 K4 有多少条不同的哈密顿回路 H？只是起点或方向不同的回路算作同一条。

K4
H =
6.图论困难
7311581149ABCDEF

迪杰斯特拉算法从 A 开始运行。点选在第 3 轮被确定（成为永久标号）的顶点；A 本身是第 1 轮。

起点：A轮 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3溶液

1.算法与复杂度

答案: C · 正确，因为 Big O 是上界，而 n² 的增长不比 n³ 快

为什么是这个答案

Big O 是上界，因此这个说法是对的，但不是紧确的；Θ(n²) 给出的才是确切的增长率。

答案

C · 正确，因为 Big O 是上界，而 n² 的增长不比 n³ 快
2.算法与复杂度

答案: B · 判定版本是 NP 完全的，优化版本是 NP 难的

为什么是这个答案

"是否存在长度至多为 k 的回路？"是 NP 完全的；求最短回路是 NP 难的，因为它至少同样困难。

答案

B · 判定版本是 NP 完全的，优化版本是 NP 难的
3.数据结构

答案: A · O(V²)

为什么是这个答案

邻接矩阵存储 V × V 个元素，适合稠密图；邻接表占用 O(V + E)，更适合稀疏图。

答案

A · O(V²)
4.数据结构

答案: B · 用它的中序后继（或前驱）替换它，然后删除那个节点

为什么是这个答案

中序后继最多只有一个子节点，因此将其键复制到待删除节点后，可以轻松地删除它。

答案

B · 用它的中序后继（或前驱）替换它，然后删除那个节点
5.图论

答案: H = 3

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

计数

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

答案

H = 3
6.图论

答案: B

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

1. A (0): B: 7, C: 3
2. C (3): B: 4, E: 18
3. B (4): E: 13
4. E (13): D: 21, F: 27
5. D (21): F: 22
6. F (22)

轮 3

B

答案

B

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