数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

快速排序的最坏情况时间复杂度是多少？

  1. AO(n log n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.算法与复杂度困难

哪种算法通过反复加入不会形成环的最便宜的边来求最小生成树？

  1. A从一个节点出发的 Prim 算法
  2. BKruskal 算法
  3. CDijkstra 算法
  4. DFloyd–Warshall
3.数据结构中等

在使用开放寻址法的哈希表中，可能的最大负载因子是多少？

  1. A2
  2. B没有最大值
  3. C1
  4. D0.5
4.数据结构困难

对于数组中的每个元素，你想以总共 O(n) 的时间求出其右侧的下一个更大元素。哪种结构有帮助？

  1. A一个保存每一对元素的队列
  2. B一个保存尚在等待答案的元素的栈
  3. C一个包含所有元素的哈希表
  4. D一棵为每个元素重建的二叉搜索树
5.图论中等
ABCDEFG欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 7|E| = 7
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
1121910211319ABCDEFG

迪杰斯特拉算法从 A 开始运行。点选在第 6 轮被确定（成为永久标号）的顶点；A 本身是第 1 轮。

起点：A轮 6
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3溶液

1.算法与复杂度

答案: D · O(n²)

为什么是这个答案

如果基准一直选得很差（例如输入已排好序且选第一个元素为基准），划分就会不平衡，导致 O(n²)。平均情况为 O(n log n)。

答案

D · O(n²)
2.算法与复杂度

答案: B · Kruskal 算法

为什么是这个答案

Kruskal 按权重对边排序，若一条边连接不同的连通分量就加入它；Prim 则从一个起始顶点开始扩展一棵树。

答案

B · Kruskal 算法
3.数据结构

答案: C · 1

为什么是这个答案

使用开放寻址法时，所有键都存储在表本身中，因此 n 不能超过 m；拉链法的负载因子可以大于 1。

答案

C · 1
4.数据结构

答案: B · 一个保存尚在等待答案的元素的栈

为什么是这个答案

从左向右扫描，弹出栈中所有比当前元素小的元素（当前元素就是它们的答案），然后把当前元素压入；每个元素最多移动两次。

答案

B · 一个保存尚在等待答案的元素的栈
5.图论

答案: 都不是

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 1, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 1, deg(G) = 3

奇度顶点

A, C, D, E, F, G → 6
都不是

答案

都不是
6.图论

答案: F

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

1. A (0): C: 11
2. C (11): B: 13, E: 20
3. B (13): D: 14, G: 16
4. D (14): F: 16, G: 15
5. G (15)
6. F (16)
7. E (20)

轮 6

F

答案

F

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