数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

贪心算法（greedy algorithm）：

  1. A只使用递归
  2. B总能给出最优解
  3. C尝试所有可能的解
  4. D在每一步都做出局部最优的选择
2.算法与复杂度困难

为什么在单链表上二分查找不能达到 O(log n) 的时间？

  1. A链表无法排序
  2. B由于不能按下标直接访问，到达中间元素需要 O(n) 步
  3. C链表节点上的比较更慢
  4. D二分查找至少需要两倍的内存
3.数据结构中等

AVL 树在每个节点上维持什么平衡条件？

  1. A每个节点都被着成红色或黑色
  2. B所有叶子都恰好位于同一深度
  3. C每个节点的两棵子树包含完全相同数量的节点
  4. D左右子树的高度之差至多为 1
4.数据结构困难

双重哈希主要减轻了线性探测的哪个问题？

  1. A需要哈希函数
  2. B读取键值需要 O(n) 的代价
  3. C需要在表中存储键
  4. D一次聚集，即形成长串的被占用槽位
5.图论中等

一棵树有 2 个度为 3 的顶点, 3 个度为 4 的顶点, 3 个度为 5 的顶点, 2 个度为 2 的顶点，其余所有顶点都是叶子（度为 1）。它有多少片叶子 L？

2 × deg 33 × deg 43 × deg 52 × deg 2
L =
6.图论困难
813131478734ABCDEFG

迪杰斯特拉算法从 A 开始运行。点选在第 5 轮被确定（成为永久标号）的顶点；A 本身是第 1 轮。

起点：A轮 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3溶液

1.算法与复杂度

答案: D · 在每一步都做出局部最优的选择

为什么是这个答案

贪心算法速度快，对某些问题是最优的（例如 Dijkstra、Huffman 编码），但一般情况下并非如此（例如某些硬币体系下的找零问题）。

答案

D · 在每一步都做出局部最优的选择
2.算法与复杂度

答案: B · 由于不能按下标直接访问，到达中间元素需要 O(n) 步

为什么是这个答案

二分查找需要以 O(1) 访问中间元素；在链表上走到那里需要线性时间，因此总时间为 O(n)。

答案

B · 由于不能按下标直接访问，到达中间元素需要 O(n) 步
3.数据结构

答案: D · 左右子树的高度之差至多为 1

为什么是这个答案

平衡因子（左子树高度 − 右子树高度）必须为 −1、0 或 1；插入和删除之后通过旋转来恢复平衡。

答案

D · 左右子树的高度之差至多为 1
4.数据结构

答案: D · 一次聚集，即形成长串的被占用槽位

为什么是这个答案

线性探测的步长为 1，因此被占用的连续段会不断增长并合并；双重哈希用第二个哈希函数决定步长，使不同的键探测不同的序列。

答案

D · 一次聚集，即形成长串的被占用槽位
5.图论

答案: L = 19

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

树的握手引理

L + 37 = 2(L + 10) − 2
L = 19

答案

L = 19

捷径：L = 2 + Σ (d − 2)，对度 d ≥ 3 的顶点求和。

6.图论

答案: E

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

1. A (0): B: 8, C: 13
2. B (8): D: 22
3. C (13): E: 20, G: 16
4. G (16)
5. E (20): F: 27
6. D (22)
7. F (27)

轮 5

E

答案

E

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