数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

用标准的三重循环计算两个 n × n 矩阵的乘积，时间复杂度是多少？

  1. AO(n² log n)
  2. BO(n³)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.算法与复杂度困难

要证明一个新问题 X 是 NP 难（NP-hard）的，必须做什么？

  1. A证明 X 对于小规模输入没有多项式算法
  2. B把 X 在多项式时间内归约到一个已知的 NP 难问题
  3. C把一个已知的 NP 难问题在多项式时间内归约到 X
  4. D证明 X 能在多项式时间内被验证
3.数据结构中等

为什么二叉堆可以不用任何指针而存储在数组中？

  1. A堆中的元素从不超过 100 个
  2. B它是完全二叉树，因此位置遵循简单的下标公式
  3. C数组会自动使键保持有序，因此不需要指针
  4. D堆中所有的键都相等
4.数据结构困难

要使哈希表正确工作，哈希与相等性必须遵守哪条规则？

  1. A不同的键必须具有不同的哈希值
  2. B哈希值必须是素数
  3. C哈希值相等意味着键相等
  4. D相等的键必须具有相等的哈希值
5.图论中等
ABCDEF欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 6|E| = 7
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
617911151412ABCDE

克鲁斯卡尔算法构造最小生成树。点选它加入的第 3 条边；被跳过的边不计。

k = 3
  1. 1边 AB
  2. 2边 AC
  3. 3边 BC
  4. 4边 BD
  5. 5边 CE
  6. 6边 DE
  7. 7边 BE

3溶液

1.算法与复杂度

答案: B · O(n³)

为什么是这个答案

共有 n² 个元素，每个需要 n 次乘法，因此共 n³ 次运算。

答案

B · O(n³)
2.算法与复杂度

答案: C · 把一个已知的 NP 难问题在多项式时间内归约到 X

为什么是这个答案

如果一个已知的难题能被高效地转换为 X，那么 X 的快速算法也能解决这个已知问题。

答案

C · 把一个已知的 NP 难问题在多项式时间内归约到 X
3.数据结构

答案: B · 它是完全二叉树，因此位置遵循简单的下标公式

为什么是这个答案

完全性意味着没有空缺，因此下标 i 的子节点总是位于 2i + 1 和 2i + 2。

答案

B · 它是完全二叉树，因此位置遵循简单的下标公式
4.数据结构

答案: D · 相等的键必须具有相等的哈希值

为什么是这个答案

如果两个相等的键哈希值不同，它们就会被存储在不同的桶中，查找就会失败；不相等的键仍然可以共用一个哈希值。

答案

D · 相等的键必须具有相等的哈希值
5.图论

答案: 都不是

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 2

奇度顶点

A, B, C, E → 4
都不是

答案

都不是
6.图论

答案: 边 BD

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

1. AB (6)
2. BC (9)
3. BD (11)
4. BE (12)

边的序号 3

BD

答案

边 BD

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