数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

在有 V 个顶点、E 条边的图上，Bellman–Ford 算法的时间复杂度是多少？

  1. AO(V + E)
  2. BO(V × E)
  3. CO(E log V)
  4. DO(V³ × E)
2.算法与复杂度困难

关于类 P 的哪个定义是正确的？

  1. A能够并行求解的问题
  2. B在每台计算机上都需要指数时间的问题
  3. C能由确定性算法在多项式时间内求解的判定问题
  4. D其解可以被验证、但绝不能在多项式时间内找到的问题
3.数据结构中等

你持有一个位于链表中间的节点的引用。在哪种链表中可以在 O(1) 内删除它？

  1. A有序数组
  2. B双向链表
  3. C动态数组
  4. D单链表
4.数据结构困难

为什么数据库常用 B+ 树而不是普通的 B 树来建立索引？

  1. AB+ 树只在根中存储数据
  2. B所有记录都在相互链接的叶子中，使范围扫描很高效
  3. CB+ 树不需要保持平衡
  4. DB+ 树使用二叉内部节点，从而减少磁盘读取次数
5.图论中等
ABCDE欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 5|E| = 6
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
151415201781011ABCDEFG

克鲁斯卡尔算法构造最小生成树。点选它加入的第 6 条边；被跳过的边不计。

k = 6
  1. 1边 AC
  2. 2边 BC
  3. 3边 BD
  4. 4边 CE
  5. 5边 DE
  6. 6边 DF
  7. 7边 EF
  8. 8边 GC
  9. 9边 GE

3溶液

1.算法与复杂度

答案: B · O(V × E)

为什么是这个答案

V − 1 轮中的每一轮都松弛全部 E 条边，因此为 O(VE)；作为交换，它能处理负权边。

答案

B · O(V × E)
2.算法与复杂度

答案: C · 能由确定性算法在多项式时间内求解的判定问题

为什么是这个答案

P 包含具有确定性多项式时间算法的判定问题，例如检查一个图是否连通。

答案

C · 能由确定性算法在多项式时间内求解的判定问题
3.数据结构

答案: B · 双向链表

为什么是这个答案

双向链表的节点知道其前驱，因此可以直接重新连接 prev 和 next；单链表必须查找前驱。

答案

B · 双向链表
4.数据结构

答案: B · 所有记录都在相互链接的叶子中，使范围扫描很高效

为什么是这个答案

在 B+ 树中，内部节点只用于引导查找，叶子按键的顺序链接起来，因此范围查询先找到第一个键，再沿着叶子向后走。

答案

B · 所有记录都在相互链接的叶子中，使范围扫描很高效
5.图论

答案: 欧拉回路

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

奇度顶点

0
欧拉回路

答案

欧拉回路
6.图论

答案: 边 BD

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

1. AC (1)
2. BC (5)
3. EF (8)
4. GC (10)
5. GE (11)
6. BD (14)

边的序号 6

BD

答案

边 BD

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