数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

一个函数先运行一个 n 次迭代的循环，然后再单独运行另一个 n 次迭代的循环。它的时间复杂度是多少？

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(log n)
2.算法与复杂度困难

为什么当某些边权为负时，Dijkstra 算法可能给出错误结果？

  1. A顶点被取出时距离就被确定，但之后的负权边仍可能给它一条更短的路径
  2. B每遇到一条负权边它就会陷入无限循环
  3. C优先队列中不能存储负数
  4. D它只适用于无向图
3.数据结构中等

在存储于容量为 n 的数组中的循环队列里，下标 i 之后的下一个位置如何计算？

  1. A2i + 1
  2. B(i − 1) mod n
  3. C(i + 1) mod n
  4. Di + 1
4.数据结构困难

用于拓扑排序的 Kahn 算法反复删除入度为 0 的顶点。哪种结构保存这些顶点？

  1. A由所有访问过的边组成的栈
  2. B由入度为 0 的顶点组成的队列（或任何集合）
  3. C记录哪些顶点已被删除的邻接矩阵
  4. D按出度排序的最大堆
5.图论中等
ABCDEFG欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 7|E| = 9
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
ABCDEF

从 C 到 D 的长度为 2 的途径有多少条？途径可以重复顶点和边。把这个数记作 N。

M = 邻接矩阵L = 2
N =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: A · O(n)

为什么是这个答案

n + n = 2n，去掉常数因子后，该函数为 O(n)。

答案

A · O(n)
2.算法与复杂度

答案: A · 顶点被取出时距离就被确定，但之后的负权边仍可能给它一条更短的路径

为什么是这个答案

贪心步骤依赖于非负权重，才能保证取出的距离是最终值；权重可能为负时应使用 Bellman–Ford。

答案

A · 顶点被取出时距离就被确定，但之后的负权边仍可能给它一条更短的路径
3.数据结构

答案: C · (i + 1) mod n

为什么是这个答案

取模运算把下标 n − 1 回绕到 0，因此数组可以被重复使用而无需移动元素。

答案

C · (i + 1) mod n
4.数据结构

答案: B · 由入度为 0 的顶点组成的队列（或任何集合）

为什么是这个答案

准备好的顶点保存在队列中；删除一个顶点会降低其邻居的入度，入度降为 0 的邻居被加入队列，总时间为 O(V + E)。

答案

B · 由入度为 0 的顶点组成的队列（或任何集合）
5.图论

答案: 都不是

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 1, deg(G) = 4

奇度顶点

A, D, E, F → 4
都不是

答案

都不是
6.图论

答案: N = 1

度：顶点的度是与它相连的边的条数。每条边有两个端点，所以度数之和等于边数的两倍：Σ deg(v) = 2|E|（握手引理）。因此奇度顶点的个数是偶数。Kn 有 n(n − 1)/2 条边，n 个顶点的 k-正则图有 nk/2 条边，n 个顶点的树有 n − 1 条边。

邻接矩阵

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 0 1
E: 0 1 1 0 0 0
F: 0 0 0 1 0 0

公共邻点

(M²)CD = 1·0 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·0 + 0·1 = 1

答案

N = 1

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