数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

在无权图上进行广度优先搜索（BFS）可以求出：

  1. A从起始节点出发、按边数计的最短路径
  2. B所有图的拓扑序
  3. C含负权重边的图中的最短路径
  4. D最小生成树
2.算法与复杂度困难

下列哪个可满足性问题已知可以在多项式时间内求解？

  1. A2-SAT，每个子句至多有两个文字
  2. B合取范式公式上的一般 SAT
  3. C3-SAT，每个子句恰好有三个文字
  4. D电路可满足性问题
3.数据结构中等

关于无向图的邻接矩阵，下列哪项是正确的？

  1. A它总是上三角矩阵
  2. B每一行恰好有一个 1
  3. C它的主对角线上总是 1
  4. D它关于主对角线对称
4.数据结构困难

在含 n 个元素的二叉最小堆中查找任意一个键需要多长时间？

  1. AO(1)
  2. BO(log log n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
5.图论中等

一棵树有 3 个度为 3 的顶点, 2 个度为 5 的顶点, 2 个度为 2 的顶点，其余所有顶点都是叶子（度为 1）。它有多少片叶子 L？

3 × deg 32 × deg 52 × deg 2
L =
6.图论困难
91579111513ABCDEF

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 F 的最短路径的长度 d(F)。

起点：A终点：F
d(F) =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: A · 从起始节点出发、按边数计的最短路径

为什么是这个答案

BFS 按照与源点的距离（边数）顺序访问节点，因此能在 O(V + E) 内求出无权最短路径。

答案

A · 从起始节点出发、按边数计的最短路径
2.算法与复杂度

答案: A · 2-SAT，每个子句至多有两个文字

为什么是这个答案

2-SAT 属于 P（通过强连通分量可在线性时间内求解），而 3-SAT 是 NP 完全的。

答案

A · 2-SAT，每个子句至多有两个文字
3.数据结构

答案: D · 它关于主对角线对称

为什么是这个答案

在无向图中，边 {u, v} 意味着 M[u][v] 和 M[v][u] 都被置位，因此矩阵等于其转置。

答案

D · 它关于主对角线对称
4.数据结构

答案: D · O(n)

为什么是这个答案

堆没有规定哪棵子树包含某个键，因此在最坏情况下必须检查所有节点；只有最小值能被快速找到。

答案

D · O(n)
5.图论

答案: L = 11

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

树的握手引理

L + 23 = 2(L + 7) − 2
L = 11

答案

L = 11

捷径：L = 2 + Σ (d − 2)，对度 d ≥ 3 的顶点求和。

6.图论

答案: d(F) = 17

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 9
B (9): C: 24, D: 16, E: 22
D (16): E: 17, F: 17
E (17)
F (17)
C (24)

最短路径

A → B → D → F
d(F) = 17

答案

d(F) = 17

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms