数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

你对一个 n 个元素的数组排序一次，然后用二分查找回答 k 次成员查询。总代价是多少？

  1. AO(n log n + k log n)
  2. BO(n + k)
  3. CO(nk)
  4. DO(k n log n)
2.算法与复杂度困难

停机问题（halting problem）表明：

  1. A每个程序最终都会停机
  2. B有些程序在更快的计算机上运行得更快，所以是否停机取决于硬件
  3. C应当避免使用循环
  4. D不存在一种算法能对所有程序和输入判定其是否会停机
3.数据结构中等

AVL 树和红黑树保证：

  1. A在任何情况下查找都是常数时间
  2. B键按插入顺序存储
  3. C没有节点拥有两个子节点
  4. D通过再平衡使高度为 O(log n)
4.数据结构困难

对以邻接矩阵存储的、有 V 个顶点的图进行广度优先搜索，运行时间是多少？

  1. AO(V²)
  2. BO(V)
  3. CO(E log V)
  4. DO(V + E)
5.图论中等
ABCDE欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 5|E| = 5
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
2811152014104ABCDEF

求带权图的最小生成树的总权重 W。

|V| = 6|E| = 8
W =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: A · O(n log n + k log n)

为什么是这个答案

排序代价为 O(n log n)，每次查询为 O(log n)；当 k 很大时，这比 k 次线性扫描（O(nk)）更好。

答案

A · O(n log n + k log n)
2.算法与复杂度

答案: D · 不存在一种算法能对所有程序和输入判定其是否会停机

为什么是这个答案

Turing 证明了停机问题是不可判定的（undecidable）：假设存在判定器，就会与一个做相反行为的程序产生矛盾。

答案

D · 不存在一种算法能对所有程序和输入判定其是否会停机
3.数据结构

答案: D · 通过再平衡使高度为 O(log n)

为什么是这个答案

自平衡树使高度保持对数级，因此查找、插入和删除在最坏情况下都是 O(log n)。

答案

D · 通过再平衡使高度为 O(log n)
4.数据结构

答案: A · O(V²)

为什么是这个答案

V 个顶点中的每一个都要扫描一行 V 个元素，因此为 O(V²)；使用邻接表时 BFS 为 O(V + E)。

答案

A · O(V²)
5.图论

答案: 欧拉回路

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

奇度顶点

0
欧拉回路

答案

欧拉回路
6.图论

答案: W = 38

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

AB (2): 取
BE (4): 取
AC (8): 取
DF (10): 取
BC (11): 跳过，会形成圈
DE (14): 取

总权重

W = 2 + 4 + 8 + 10 + 14 = 38

答案

W = 38

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