数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

对 n 个 k 进制、d 位的整数进行 LSD 基数排序（radix sort），运行时间是多少？

  1. AO(n log n)
  2. BO(dn log k)
  3. CO(d(n + k))
  4. DO(n²)
2.算法与复杂度困难

哪种技术能使快速排序在任意输入上的期望运行时间为 O(n log n)？

  1. A均匀随机地选择基准
  2. B总是选择第一个元素
  3. C在运行快速排序前先对输入排序
  4. D只对左侧进行递归
3.数据结构中等

一棵高度为 h（以边数计）的满二叉树有多少个节点？

  1. Ah2
  2. B2h + 1
  3. C2h
  4. D2h+1 − 1
4.数据结构困难

与有序链表相比，跳表（skip list）的主要优势是什么？

  1. A它不占用额外内存
  2. B保证 O(1) 的查找，因为每个节点都存有指向其他所有节点的指针
  3. C它以无序方式存储键
  4. D利用多层前向指针，实现期望 O(log n) 的查找
5.图论中等

完全图 K5 有多少条不同的哈密顿回路 H？只是起点或方向不同的回路算作同一条。

K5
H =
6.图论困难
1185921013131ABCDEF

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 E 的最短路径的长度 d(E)。

起点：A终点：E
d(E) =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: C · O(d(n + k))

为什么是这个答案

d 趟中的每一趟都是代价为 O(n + k) 的计数排序，因此当 d 和 k 固定时，总时间关于 n 是线性的。

答案

C · O(d(n + k))
2.算法与复杂度

答案: A · 均匀随机地选择基准

为什么是这个答案

使用随机基准时，对每个输入的期望运行时间都是 O(n log n)；坏情况依然存在，但发生的概率极低。

答案

A · 均匀随机地选择基准
3.数据结构

答案: D · 2h+1 − 1

为什么是这个答案

求和 1 + 2 + 4 + ... + 2h 得到 2h+1 − 1；例如，高度为 2 时有 7 个节点。

答案

D · 2h+1 − 1
4.数据结构

答案: D · 利用多层前向指针，实现期望 O(log n) 的查找

为什么是这个答案

随机化的层级使查找能够跳过许多节点，从而使查找、插入和删除的期望时间为 O(log n)。

答案

D · 利用多层前向指针，实现期望 O(log n) 的查找
5.图论

答案: H = 12

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

计数

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

答案

H = 12
6.图论

答案: d(E) = 10

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 11, C: 8
C (8): E: 10
E (10): D: 20, F: 23
B (11)
D (20)
F (23)

最短路径

A → C → E
d(E) = 10

答案

d(E) = 10

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