数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

在无权图上进行广度优先搜索（BFS）可以求出：

  1. A含负权重边的图中的最短路径
  2. B从起始节点出发、按边数计的最短路径
  3. C最小生成树
  4. D所有图的拓扑序
2.算法与复杂度困难

为什么当某些边权为负时，Dijkstra 算法可能给出错误结果？

  1. A每遇到一条负权边它就会陷入无限循环
  2. B它只适用于无向图
  3. C优先队列中不能存储负数
  4. D顶点被取出时距离就被确定，但之后的负权边仍可能给它一条更短的路径
3.数据结构中等

运行中的程序使用哪种数据结构来记录活动的函数调用及其局部变量？

  1. A由函数组成的哈希表
  2. B堆内存队列
  3. C调用栈
  4. D由栈帧组成的二叉搜索树
4.数据结构困难

与有序链表相比，跳表（skip list）的主要优势是什么？

  1. A利用多层前向指针，实现期望 O(log n) 的查找
  2. B它不占用额外内存
  3. C保证 O(1) 的查找，因为每个节点都存有指向其他所有节点的指针
  4. D它以无序方式存储键
5.图论中等

一个连通图有 17 个顶点和 20 条边。必须去掉多少条边 k 才能剩下一棵生成树？

|V| = 17|E| = 20
k =
6.图论困难
ABCDEF

从 D 到 B 的长度为 2 的途径有多少条？途径可以重复顶点和边。把这个数记作 N。

M = 邻接矩阵L = 2
N =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: B · 从起始节点出发、按边数计的最短路径

为什么是这个答案

BFS 按照与源点的距离（边数）顺序访问节点，因此能在 O(V + E) 内求出无权最短路径。

答案

B · 从起始节点出发、按边数计的最短路径
2.算法与复杂度

答案: D · 顶点被取出时距离就被确定，但之后的负权边仍可能给它一条更短的路径

为什么是这个答案

贪心步骤依赖于非负权重，才能保证取出的距离是最终值；权重可能为负时应使用 Bellman–Ford。

答案

D · 顶点被取出时距离就被确定，但之后的负权边仍可能给它一条更短的路径
3.数据结构

答案: C · 调用栈

为什么是这个答案

每次调用压入一个栈帧，每次返回弹出一个栈帧，这就是最近的调用最先结束的原因。

答案

C · 调用栈
4.数据结构

答案: A · 利用多层前向指针，实现期望 O(log n) 的查找

为什么是这个答案

随机化的层级使查找能够跳过许多节点，从而使查找、插入和删除的期望时间为 O(log n)。

答案

A · 利用多层前向指针，实现期望 O(log n) 的查找
5.图论

答案: k = 4

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

生成树的边数

17 − 1 = 16

要去掉的边数

k = 20 − 16 = 4

答案

k = 4
6.图论

答案: N = 1

度：顶点的度是与它相连的边的条数。每条边有两个端点，所以度数之和等于边数的两倍：Σ deg(v) = 2|E|（握手引理）。因此奇度顶点的个数是偶数。Kn 有 n(n − 1)/2 条边，n 个顶点的 k-正则图有 nk/2 条边，n 个顶点的树有 n − 1 条边。

邻接矩阵

A: 0 0 1 0 0 0
B: 0 0 1 0 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 0 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

公共邻点

(M²)DB = 0·0 + 0·0 + 0·1 + 0·0 + 1·1 + 1·0 = 1

答案

N = 1

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