数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

对 n 个 k 进制、d 位的整数进行 LSD 基数排序（radix sort），运行时间是多少？

  1. AO(n log n)
  2. BO(d(n + k))
  3. CO(n²)
  4. DO(dn log k)
2.算法与复杂度困难

用动态规划求解 0/1 背包问题需要 O(nW) 时间。为什么称之为伪多项式（pseudo-polynomial）？

  1. A因为它只适用于 W = 0
  2. B因为 n 总是很小
  3. CW 是一个数值，因此运行时间相对于表示 W 所需的位数是指数级的
  4. D因为该算法是随机化的，其运行时间随每个输入而变化
3.数据结构中等

对二叉搜索树进行中序遍历时，访问键的顺序是：

  1. A层序
  2. B始终为降序
  3. C升序排列
  4. D插入顺序
4.数据结构困难

为什么不能简单地通过清除位来从标准布隆过滤器中删除元素？

  1. A布隆过滤器中的位在创建后不能更改
  2. B删除会使假阳性率增加到 100%
  3. C布隆过滤器存储完整的元素，而这些元素一旦被哈希就无法再找回
  4. D这些位可能同时属于其他元素，从而导致假阴性
5.图论中等
ABCDEF欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 6|E| = 6
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
912418216208614ABCDEFG

普里姆算法从顶点 A 出发构造最小生成树。点选它加入的第 6 条边。

起点：Ak = 6
  1. 1边 AB
  2. 2边 AC
  3. 3边 BC
  4. 4边 BD
  5. 5边 CE
  6. 6边 DF
  7. 7边 EF
  8. 8边 GC
  9. 9边 GD
  10. 10边 GE

3溶液

1.算法与复杂度

答案: B · O(d(n + k))

为什么是这个答案

d 趟中的每一趟都是代价为 O(n + k) 的计数排序，因此当 d 和 k 固定时，总时间关于 n 是线性的。

答案

B · O(d(n + k))
2.算法与复杂度

答案: C · W 是一个数值，因此运行时间相对于表示 W 所需的位数是指数级的

为什么是这个答案

运行时间关于 W 的数值是多项式的，但关于其长度（log W 位）是指数级的；0/1 背包问题是 NP 完全的。

答案

C · W 是一个数值，因此运行时间相对于表示 W 所需的位数是指数级的
3.数据结构

答案: C · 升序排列

为什么是这个答案

先访问左子树，再访问节点，最后访问右子树，可按有序顺序输出 BST 的键。

答案

C · 升序排列
4.数据结构

答案: D · 这些位可能同时属于其他元素，从而导致假阴性

为什么是这个答案

清除一个共享的位会使另一个元素看起来不存在；计数布隆过滤器用计数器代替位，从而允许删除。

答案

D · 这些位可能同时属于其他元素，从而导致假阴性
5.图论

答案: 有欧拉通路，无回路

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 1, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 2

奇度顶点

C, E → 2
有欧拉通路，无回路

答案

有欧拉通路，无回路

欧拉通路从一个奇度顶点出发，在另一个奇度顶点结束。

6.图论

答案: 边 DF

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

普里姆算法

1. AB (9)
2. BC (4)
3. CE (2)
4. GC (8)
5. GD (6)
6. DF (16)

边的序号 6

DF

答案

边 DF

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