数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

在边权非负的图中，哪种算法用于求单源最短路径？

  1. A深度优先搜索（DFS）
  2. BKruskal 算法
  3. CDijkstra 算法
  4. D任何情况下都必须使用 Bellman–Ford
2.算法与复杂度困难

22n 属于 O(2ⁿ) 吗？

  1. A属于，因为两者都是指数级的
  2. B属于，因为在 Big O 中指数里的常数因子总是被忽略
  3. C不属于，因为 22n = 4ⁿ，而 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ 无界地增长
  4. D不属于，因为 22n 增长得比 2ⁿ 慢
3.数据结构中等

一个应用需要快速查找，还需要按有序顺序列出键并回答范围查询。哪种结构最合适？

  1. A栈
  2. B无序链表
  3. C哈希表
  4. D平衡二叉搜索树
4.数据结构困难

建立在 n 个数的数组上的树状数组（Fenwick tree，binary indexed tree）以 O(log n) 支持哪些操作？

  1. A在任意位置插入元素
  2. B对数组排序和二分查找
  3. C前缀和查询和单个元素更新
  4. D以 O(1) 求中位数
5.图论中等

一个连通图有 13 个顶点和 15 条边。必须去掉多少条边 k 才能剩下一棵生成树？

|V| = 13|E| = 15
k =
6.图论困难
513191201018ABCDE

普里姆算法从顶点 E 出发构造最小生成树。点选它加入的第 2 条边。

起点：Ek = 2
  1. 1边 AB
  2. 2边 AC
  3. 3边 BC
  4. 4边 BD
  5. 5边 CE
  6. 6边 DE
  7. 7边 BE

3溶液

1.算法与复杂度

答案: C · Dijkstra 算法

为什么是这个答案

Dijkstra 算法适用于非负权重；Bellman–Ford 能处理负权重；Kruskal 用于构建最小生成树。

答案

C · Dijkstra 算法
2.算法与复杂度

答案: C · 不属于，因为 22n = 4ⁿ，而 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ 无界地增长

为什么是这个答案

在指数上加一个常数只得到一个常数因子，但用常数乘以指数会改变底数和增长率。

答案

C · 不属于，因为 22n = 4ⁿ，而 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ 无界地增长
3.数据结构

答案: D · 平衡二叉搜索树

为什么是这个答案

平衡 BST 提供 O(log n) 的查找并使键保持有序，因此中序遍历和范围查询都很容易；哈希表则把键打散存放。

答案

D · 平衡二叉搜索树
4.数据结构

答案: C · 前缀和查询和单个元素更新

为什么是这个答案

树状数组存储由每个下标的低位所确定区间上的部分和，因此前缀和与单点更新都只需 O(log n)。

答案

C · 前缀和查询和单个元素更新
5.图论

答案: k = 3

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

生成树的边数

13 − 1 = 12

要去掉的边数

k = 15 − 12 = 3

答案

k = 3
6.图论

答案: 边 BD

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

普里姆算法

1. DE (10)
2. BD (1)
3. AB (5)
4. AC (13)

边的序号 2

BD

答案

边 BD

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