数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

图论

握手引理: Σ deg(v) = 2|E|
完全图: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正则图: |E| = n·k/2
树与森林: |E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉: 回路：所有顶点度数为偶数；通路：恰有 2 个奇度顶点
K_n 中的哈密顿回路: (n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径: (Mᴸ)_ij

方法

写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

哪种排序算法是稳定的？

A选择排序（常见版本）
B快速排序（常见的原地版本）
C归并排序
D堆排序

2.算法与复杂度困难

Strassen 算法在矩阵乘法中对半尺寸的分块只做 7 次而不是 8 次递归乘法。它的运行时间是多少？

AΘ(n² log n)
BΘ(n³)
CΘ(n^{log₂ 7})，约为 n^2.81
DΘ(n²)

3.数据结构中等

字典树（Trie，前缀树）特别适合用于：

A对数字排序
B存储矩阵
C求最短路径
D自动补全等前缀查找

4.数据结构困难

用于拓扑排序的 Kahn 算法反复删除入度为 0 的顶点。哪种结构保存这些顶点？

A记录哪些顶点已被删除的邻接矩阵
B按出度排序的最大堆
C由所有访问过的边组成的栈
D由入度为 0 的顶点组成的队列（或任何集合）

5.图论中等

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 7|E| = 8

1欧拉回路
2有欧拉通路，无回路
3都不是

6.图论困难

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 F 的最短路径的长度 d(F)。

起点：A终点：F

d(F) =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: C · 归并排序

为什么是这个答案

当合并时遇到相等元素优先取左半部分，归并排序就是稳定的。原地快速排序、堆排序和选择排序通常不稳定。

答案

C · 归并排序

2.算法与复杂度

答案: C · Θ(n^{log₂ 7})，约为 n^2.81

为什么是这个答案

取 a = 7、b = 2，n^{log₂ 7} 压过 O(n²) 的加法工作量，结果约为 n^2.81。

答案

C · Θ(n^{log₂ 7})，约为 n^2.81

3.数据结构

答案: D · 自动补全等前缀查找

为什么是这个答案

字典树沿路径按字符存储字符串，因此查找和前缀查询的时间与键的长度成正比。

答案

D · 自动补全等前缀查找

4.数据结构

答案: D · 由入度为 0 的顶点组成的队列（或任何集合）

为什么是这个答案

准备好的顶点保存在队列中；删除一个顶点会降低其邻居的入度，入度降为 0 的邻居被加入队列，总时间为 O(V + E)。

答案

D · 由入度为 0 的顶点组成的队列（或任何集合）

5.图论

答案: 都不是

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；K_n 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 1

奇度顶点

A, D, E, G → 4

都不是

答案

都不是

6.图论

答案: d(F) = 25

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 12, C: 9

C (9): E: 12

B (12): D: 21

E (12): F: 25

D (21)

F (25)

最短路径

A → C → E → F

d(F) = 25

答案

d(F) = 25

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms