数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

递推式 T(n) = 2T(n − 1) + O(1) 的解是什么？

  1. AO(n²)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(2ⁿ)
2.算法与复杂度困难

如果有人为某个 NP 完全问题找到了多项式时间算法，会有什么结果？

  1. A停机问题将变得可判定
  2. B所有指数时间算法都会立即变成线性时间
  3. CNP 中的每个问题都能在多项式时间内求解，因此 P = NP
  4. D只有那一个问题会进入 P
3.数据结构中等

把键 50、30、70、20、40 按此顺序插入一棵空的二叉搜索树。30 的左子节点是什么？

  1. A50
  2. B20
  3. C40
  4. D70
4.数据结构困难

一个对象作为键存储在哈希映射中，之后其哈希函数所用的一个字段被修改了。可能的结果是什么？

  1. A字段改变的那一刻映射就会抛出错误
  2. B映射会自动把该键移到新的桶中
  3. C查找该对象可能失败，因为它位于按旧哈希值确定的桶中
  4. D什么都不会改变，因为键的哈希只在程序启动时计算一次
5.图论中等

一个连通图有 17 个顶点和 26 条边。必须去掉多少条边 k 才能剩下一棵生成树？

|V| = 17|E| = 26
k =
6.图论困难
142112553151ABCDEFG

迪杰斯特拉算法从 A 开始运行。点选在第 4 轮被确定（成为永久标号）的顶点；A 本身是第 1 轮。

起点：A轮 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3溶液

1.算法与复杂度

答案: D · O(2ⁿ)

为什么是这个答案

调用次数每深入一层就翻倍，共有 n 层，因此总数约为 2ⁿ，就像汉诺塔问题一样。

答案

D · O(2ⁿ)
2.算法与复杂度

答案: C · NP 中的每个问题都能在多项式时间内求解，因此 P = NP

为什么是这个答案

由于整个 NP 都能在多项式时间内归约到任一 NP 完全问题，其中一个问题的快速算法就给出了所有问题的快速算法。

答案

C · NP 中的每个问题都能在多项式时间内求解，因此 P = NP
3.数据结构

答案: B · 20

为什么是这个答案

20 比 50 小，也比 30 小，因此成为 30 的左子节点；40 成为 30 的右子节点。

答案

B · 20
4.数据结构

答案: C · 查找该对象可能失败，因为它位于按旧哈希值确定的桶中

为什么是这个答案

键的位置是按其旧哈希值选定的；有了新的哈希值，查找会在错误的桶中搜索，因此键应当是不可变的。

答案

C · 查找该对象可能失败，因为它位于按旧哈希值确定的桶中
5.图论

答案: k = 10

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

生成树的边数

17 − 1 = 16

要去掉的边数

k = 26 − 16 = 10

答案

k = 10
6.图论

答案: D

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

1. A (0): C: 14
2. C (14): B: 16, G: 29
3. B (16): D: 17, G: 19
4. D (17): E: 29, F: 22
5. G (19): E: 20
6. E (20)
7. F (22)

轮 4

D

答案

D

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms