数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

对长度为 m 和 n 的两个字符串求最长公共子序列，标准动态规划算法的时间复杂度是多少？

  1. AO(2m+n)
  2. BO(mn)
  3. CO(mn log n)
  4. DO(m + n)
2.算法与复杂度困难

Cook–Levin 定理确立了什么？

  1. A布尔可满足性问题（SAT）是 NP 完全的
  2. BP 不等于 NP
  3. C每个 NP 问题都能在指数时间内求解
  4. D停机问题是不可判定的
3.数据结构中等

二叉搜索树中的某个节点有右子树。它的中序后继在哪里？

  1. A总是它的右子节点
  2. B其左子树中最右边的节点
  3. C总是它的父节点
  4. D其右子树中最左边的节点
4.数据结构困难

一个对象作为键存储在哈希映射中，之后其哈希函数所用的一个字段被修改了。可能的结果是什么？

  1. A字段改变的那一刻映射就会抛出错误
  2. B映射会自动把该键移到新的桶中
  3. C什么都不会改变，因为键的哈希只在程序启动时计算一次
  4. D查找该对象可能失败，因为它位于按旧哈希值确定的桶中
5.图论中等

完全图 K6 有多少条不同的哈密顿回路 H？只是起点或方向不同的回路算作同一条。

K6
H =
6.图论困难
714213105781112ABCDEFG

迪杰斯特拉算法从 A 开始运行。点选在第 4 轮被确定（成为永久标号）的顶点；A 本身是第 1 轮。

起点：A轮 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3溶液

1.算法与复杂度

答案: B · O(mn)

为什么是这个答案

表格有 (m + 1)(n + 1) 个单元，每个单元都由相邻单元在 O(1) 内算出。

答案

B · O(mn)
2.算法与复杂度

答案: A · 布尔可满足性问题（SAT）是 NP 完全的

为什么是这个答案

Cook 和 Levin 各自独立地证明了 NP 中的每个问题都能在多项式时间内归约到 SAT，因此 SAT 是第一个已知的 NP 完全问题。

答案

A · 布尔可满足性问题（SAT）是 NP 完全的
3.数据结构

答案: D · 其右子树中最左边的节点

为什么是这个答案

所有比该节点大且与之相近的键都在它的右子树中，其中最小的就是那里最左边的节点。

答案

D · 其右子树中最左边的节点
4.数据结构

答案: D · 查找该对象可能失败，因为它位于按旧哈希值确定的桶中

为什么是这个答案

键的位置是按其旧哈希值选定的；有了新的哈希值，查找会在错误的桶中搜索，因此键应当是不可变的。

答案

D · 查找该对象可能失败，因为它位于按旧哈希值确定的桶中
5.图论

答案: H = 60

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

计数

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

答案

H = 60
6.图论

答案: G

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

1. A (0): B: 7
2. B (7): C: 21, D: 9, G: 14
3. D (9): F: 19
4. G (14): E: 26
5. F (19): E: 24
6. C (21)
7. E (24)

轮 4

G

答案

G

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