数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

为什么在 Big O 中通常省略对数的底，例如写成 O(log n)？

  1. A计算机科学中所有对数的底都是 10，所以可以省略
  2. B对数总是被四舍五入为整数
  3. C不同底的对数之间只相差一个常数因子
  4. D底只在 n 很小时才有影响
2.算法与复杂度困难

Bellman–Ford 算法如何检测从源点可达的负权环？

  1. A它运行两次 Dijkstra 算法，并比较两次的距离结果
  2. B用深度优先搜索统计环的数量
  3. C检查是否有边的权重为负
  4. D在 V − 1 轮之后，检查是否还有边可以被松弛
3.数据结构中等

后缀表达式 3 4 + 2 * 的值是多少？

  1. A14
  2. B11
  3. C24
  4. D10
4.数据结构困难

红黑树的规则对含 n 个键的树的高度给出了什么保证？

  1. A高度至多为 2 log2(n + 1)
  2. B高度至多为 log2 n + 1
  3. C高度恰好为 log2 n
  4. D高度至多为 n / 2
5.图论中等

一棵树有 3 个度为 3 的顶点, 4 个度为 5 的顶点，其余所有顶点都是叶子（度为 1）。它有多少片叶子 L？

3 × deg 34 × deg 5
L =
6.图论困难
ABCDEF

从 E 到 F 的长度为 3 的途径有多少条？途径可以重复顶点和边。把这个数记作 N。

M = 邻接矩阵L = 3
N =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: C · 不同底的对数之间只相差一个常数因子

为什么是这个答案

换底相当于把对数乘以一个常数，而 Big O 忽略常数因子。

答案

C · 不同底的对数之间只相差一个常数因子
2.算法与复杂度

答案: D · 在 V − 1 轮之后，检查是否还有边可以被松弛

为什么是这个答案

所有真正的最短距离都会在 V − 1 轮内求出；如果某条边仍能改进，就必然存在负权环。

答案

D · 在 V − 1 轮之后，检查是否还有边可以被松弛
3.数据结构

答案: A · 14

为什么是这个答案

压入 3 和 4，+ 得到 7；压入 2，* 得到 7 × 2 = 14。

答案

A · 14
4.数据结构

答案: A · 高度至多为 2 log2(n + 1)

为什么是这个答案

每条路径上的黑色节点数相同，且红色节点不能相邻，因此最长路径至多是最短路径的两倍，从而高度为 O(log n)。

答案

A · 高度至多为 2 log2(n + 1)
5.图论

答案: L = 17

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

树的握手引理

L + 29 = 2(L + 7) − 2
L = 17

答案

L = 17

捷径：L = 2 + Σ (d − 2)，对度 d ≥ 3 的顶点求和。

6.图论

答案: N = 4

度：顶点的度是与它相连的边的条数。每条边有两个端点，所以度数之和等于边数的两倍：Σ deg(v) = 2|E|（握手引理）。因此奇度顶点的个数是偶数。Kn 有 n(n − 1)/2 条边，n 个顶点的 k-正则图有 nk/2 条边，n 个顶点的树有 n − 1 条边。

邻接矩阵

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 0 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 0 0 0 1 0
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 0 1 0

再走一步

(M³)EF = 2·0 + 1·0 + 1·0 + 0·0 + 4·1 + 0·0 = 4

答案

N = 4

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