数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

递推式 T(n) = T(n − 1) + O(1) 的解是什么？

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n²)
2.算法与复杂度困难

关于类 NP 的哪个定义是正确的？

  1. A非多项式的问题
  2. B不能在多项式时间内求解的问题
  3. C任何算法都无法求解的问题
  4. D给定证书时，其"是"答案能在多项式时间内验证的判定问题
3.数据结构中等

为什么在实践中遍历数组往往比遍历同样长度的链表快得多？

  1. A数组遍历总共是 O(1)，而链表遍历是 O(n)
  2. B数组比较数值所用的指令更少
  3. C数组元素是连续存放的，因此能很好地利用 CPU 缓存
  4. D链表总是把元素存储在磁盘上
4.数据结构困难

哪种结构能以总共 O(n) 的时间求出数组中每个大小为 k 的窗口的最大值？

  1. A为每个窗口重建的最小堆
  2. B由窗口元素组成的单链表
  3. C通过移动元素来更新的有序数组
  4. D一个按值递减顺序保存下标的双端队列
5.图论中等

一棵树有 3 个度为 3 的顶点，其余所有顶点都是叶子（度为 1）。它有多少片叶子 L？

3 × deg 3
L =
6.图论困难
2871414108104ABCDEFG

迪杰斯特拉算法从 A 开始运行。点选在第 5 轮被确定（成为永久标号）的顶点；A 本身是第 1 轮。

起点：A轮 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3溶液

1.算法与复杂度

答案: A · O(n)

为什么是这个答案

共有 n 层，每层的工作量是常数，例如递归地对数组求和。

答案

A · O(n)
2.算法与复杂度

答案: D · 给定证书时，其"是"答案能在多项式时间内验证的判定问题

为什么是这个答案

对于 NP 问题，一个候选解（证书）可以被快速检验，例如验证给定的赋值是否满足一个布尔公式。

答案

D · 给定证书时，其"是"答案能在多项式时间内验证的判定问题
3.数据结构

答案: C · 数组元素是连续存放的，因此能很好地利用 CPU 缓存

为什么是这个答案

连续的内存带来良好的引用局部性，而链表节点可能分散各处，导致大量缓存未命中。

答案

C · 数组元素是连续存放的，因此能很好地利用 CPU 缓存
4.数据结构

答案: D · 一个按值递减顺序保存下标的双端队列

为什么是这个答案

双端队列的队首始终是窗口的最大值；每个下标进出双端队列各一次，因此工作量是线性的。

答案

D · 一个按值递减顺序保存下标的双端队列
5.图论

答案: L = 5

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

树的握手引理

L + 9 = 2(L + 3) − 2
L = 5

答案

L = 5

捷径：L = 2 + Σ (d − 2)，对度 d ≥ 3 的顶点求和。

6.图论

答案: E

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

1. A (0): B: 2, C: 8
2. B (2): G: 12
3. C (8): E: 15
4. G (12): D: 22
5. E (15): F: 29
6. D (22)
7. F (29)

轮 5

E

答案

E

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