数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

硬币面值为 1、3 和 4，金额为 6，贪心的"先取最大硬币"方法使用多少枚硬币？与最优解相比如何？

  1. A贪心用 2 枚；最优解是 2 枚
  2. B贪心用 4 枚；最优解是 3 枚
  3. C贪心用 3 枚；最优解是 2 枚
  4. D贪心用 3 枚；最优解是 3 枚
2.算法与复杂度困难

用自底向上的方法从 n 个无序元素构建二叉堆的时间复杂度是多少？

  1. AO(n²)
  2. BO(n log n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
3.数据结构中等

在用数组存储的二叉最小堆（索引从 0 开始）中，索引为 i 的节点的子节点位于：

  1. Ai/2 和 i/2 + 1
  2. B2i 和 2i + 1
  3. C2i + 1 和 2i + 2
  4. Di + 1 和 i + 2
4.数据结构困难

一个动态数组在满时容量翻倍。为什么许多实现只在它只有四分之一满时才缩容，而不是一半满时？

  1. A为了使数组保持有序
  2. B因为内存分配器只能以块的四分之一为单位释放内存
  3. C因为在一半满时减半会丢失元素
  4. D为了避免在边界附近交替进行 push 和 pop 时反复调整大小
5.图论中等
ABCDEFG欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 7|E| = 7
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
86201813104ABCDE

普里姆算法从顶点 D 出发构造最小生成树。点选它加入的第 3 条边。

起点：Dk = 3
  1. 1边 AB
  2. 2边 AC
  3. 3边 BC
  4. 4边 BD
  5. 5边 CE
  6. 6边 DE
  7. 7边 BE

3溶液

1.算法与复杂度

答案: C · 贪心用 3 枚；最优解是 2 枚

为什么是这个答案

贪心取 4 + 1 + 1，共 3 枚，而 3 + 3 只用 2 枚，因此对这种硬币体系贪心不是最优的；动态规划才是。

答案

C · 贪心用 3 枚；最优解是 2 枚
2.算法与复杂度

答案: D · O(n)

为什么是这个答案

对各层的下沉代价求和得到一个收敛级数，因此建堆（heapify）在线性时间内完成。

答案

D · O(n)
3.数据结构

答案: C · 2i + 1 和 2i + 2

为什么是这个答案

对于从 0 开始的数组，左子节点位于 2i + 1，右子节点位于 2i + 2，父节点位于 ⌊(i − 1)/2⌋。

答案

C · 2i + 1 和 2i + 2
4.数据结构

答案: D · 为了避免在边界附近交替进行 push 和 pop 时反复调整大小

为什么是这个答案

在一半满时缩容，可能使这样的操作序列中每次操作都触发一次调整大小；1/4 与满之间的间隔使均摊代价保持在 O(1)。

答案

D · 为了避免在边界附近交替进行 push 和 pop 时反复调整大小
5.图论

答案: 都不是

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 1, deg(B) = 1, deg(C) = 4, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 1, deg(G) = 3

奇度顶点

A, B, F, G → 4
都不是

答案

都不是
6.图论

答案: 边 AB

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

普里姆算法

1. DE (10)
2. BE (4)
3. AB (8)
4. AC (6)

边的序号 3

AB

答案

边 AB

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