数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

快速排序的最坏情况时间复杂度是多少？

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n log n)
2.算法与复杂度困难

下列哪个可满足性问题已知可以在多项式时间内求解？

  1. A3-SAT，每个子句恰好有三个文字
  2. B合取范式公式上的一般 SAT
  3. C电路可满足性问题
  4. D2-SAT，每个子句至多有两个文字
3.数据结构中等

如何向二叉堆中插入一个新元素？

  1. A从头重建整个堆
  2. B通过把所有更大的元素右移一位，将它插入到有序位置
  3. C把它放在数组末尾，只要它违反堆性质就将其上浮（sift up）
  4. D把它放在根上，再将其下沉（sift down）
4.数据结构困难

在 Kruskal 最小生成树算法中，并查集结构用来做什么？

  1. A在搜索过程中存储每个顶点到源点的当前距离
  2. B按权重对边排序
  3. C选择起始顶点
  4. D检查一条边的两个端点是否已经连通
5.图论中等

一个连通图有 20 个顶点和 23 条边。必须去掉多少条边 k 才能剩下一棵生成树？

|V| = 20|E| = 23
k =
6.图论困难
141212912713ABCDEF

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 F 的最短路径的长度 d(F)。

起点：A终点：F
d(F) =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: C · O(n²)

为什么是这个答案

如果基准一直选得很差（例如输入已排好序且选第一个元素为基准），划分就会不平衡，导致 O(n²)。平均情况为 O(n log n)。

答案

C · O(n²)
2.算法与复杂度

答案: D · 2-SAT，每个子句至多有两个文字

为什么是这个答案

2-SAT 属于 P（通过强连通分量可在线性时间内求解），而 3-SAT 是 NP 完全的。

答案

D · 2-SAT，每个子句至多有两个文字
3.数据结构

答案: C · 把它放在数组末尾，只要它违反堆性质就将其上浮（sift up）

为什么是这个答案

在末尾添加可以使树保持完全；与父节点交换可在 O(log n) 步内恢复顺序。

答案

C · 把它放在数组末尾，只要它违反堆性质就将其上浮（sift up）
4.数据结构

答案: D · 检查一条边的两个端点是否已经连通

为什么是这个答案

Find 判断两个端点是否在同一个连通分量中；如果不在，就加入这条边，并用 union 合并两个分量。

答案

D · 检查一条边的两个端点是否已经连通
5.图论

答案: k = 4

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

生成树的边数

20 − 1 = 19

要去掉的边数

k = 23 − 19 = 4

答案

k = 4
6.图论

答案: d(F) = 23

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): C: 14
C (14): B: 26, E: 16
E (16): D: 25, F: 23
F (23)
D (25)
B (26)

最短路径

A → C → E → F
d(F) = 23

答案

d(F) = 23

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