数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

贪心算法（greedy algorithm）：

  1. A只使用递归
  2. B总能给出最优解
  3. C尝试所有可能的解
  4. D在每一步都做出局部最优的选择
2.算法与复杂度困难

Cook–Levin 定理确立了什么？

  1. AP 不等于 NP
  2. B每个 NP 问题都能在指数时间内求解
  3. C停机问题是不可判定的
  4. D布尔可满足性问题（SAT）是 NP 完全的
3.数据结构中等

用两个栈实现一个队列：入队时压入 "in" 栈，出队时从 "out" 栈弹出，"out" 栈为空时从 "in" 栈重新填充。每次操作的均摊代价是多少？

  1. AO(1)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n²)
4.数据结构困难

在一棵根为 50、左子树为 30（子节点 20、40）、右子树为 70（子节点 60、80）的 BST 中，用中序后继删除根。哪个键成为新的根？

  1. A80
  2. B70
  3. C60
  4. D40
5.图论中等

一个连通图有 17 个顶点和 21 条边。必须去掉多少条边 k 才能剩下一棵生成树？

|V| = 17|E| = 21
k =
6.图论困难
654110712312ABCDEFG

迪杰斯特拉算法从 A 开始运行。点选在第 4 轮被确定（成为永久标号）的顶点；A 本身是第 1 轮。

起点：A轮 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3溶液

1.算法与复杂度

答案: D · 在每一步都做出局部最优的选择

为什么是这个答案

贪心算法速度快，对某些问题是最优的（例如 Dijkstra、Huffman 编码），但一般情况下并非如此（例如某些硬币体系下的找零问题）。

答案

D · 在每一步都做出局部最优的选择
2.算法与复杂度

答案: D · 布尔可满足性问题（SAT）是 NP 完全的

为什么是这个答案

Cook 和 Levin 各自独立地证明了 NP 中的每个问题都能在多项式时间内归约到 SAT，因此 SAT 是第一个已知的 NP 完全问题。

答案

D · 布尔可满足性问题（SAT）是 NP 完全的
3.数据结构

答案: A · O(1)

为什么是这个答案

每个元素总共最多被压入和弹出各两次，因此尽管一次重新填充可能需要 O(n)，整个操作序列的平均代价是 O(1)。

答案

A · O(1)
4.数据结构

答案: C · 60

为什么是这个答案

右子树中最左的节点是 60，因此 60 替换 50，并删除其原来的位置；使用前驱则会得到 40。

答案

C · 60
5.图论

答案: k = 5

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

生成树的边数

17 − 1 = 16

要去掉的边数

k = 21 − 16 = 5

答案

k = 5
6.图论

答案: E

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

1. A (0): B: 6, C: 5
2. C (5): E: 9, G: 17
3. B (6): G: 13
4. E (9): F: 19
5. G (13): D: 16
6. D (16): F: 17
7. F (17)

轮 4

E

答案

E

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