数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

在活动选择问题中，哪条贪心规则总能得到数量最多的互不重叠的活动？

  1. A选择最早结束的活动，然后在与之相容的活动中重复这一步
  2. B先选择最短的活动
  3. C选择最早开始的活动
  4. D先选择与其他活动重叠最少的活动，然后在与之相容的活动中重复这一步
2.算法与复杂度困难

22n 属于 O(2ⁿ) 吗？

  1. A属于，因为在 Big O 中指数里的常数因子总是被忽略
  2. B属于，因为两者都是指数级的
  3. C不属于，因为 22n 增长得比 2ⁿ 慢
  4. D不属于，因为 22n = 4ⁿ，而 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ 无界地增长
3.数据结构中等

含 V 个顶点的图的邻接矩阵占用多少内存？

  1. AO(log V)
  2. BO(E)
  3. CO(V²)
  4. DO(V + E)
4.数据结构困难

为什么数据库常用 B+ 树而不是普通的 B 树来建立索引？

  1. AB+ 树只在根中存储数据
  2. B所有记录都在相互链接的叶子中，使范围扫描很高效
  3. CB+ 树使用二叉内部节点，从而减少磁盘读取次数
  4. DB+ 树不需要保持平衡
5.图论中等

一个连通图有 7 个顶点和 14 条边。必须去掉多少条边 k 才能剩下一棵生成树？

|V| = 7|E| = 14
k =
6.图论困难
10123571215108ABCDEFG

迪杰斯特拉算法从 A 开始运行。点选在第 4 轮被确定（成为永久标号）的顶点；A 本身是第 1 轮。

起点：A轮 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3溶液

1.算法与复杂度

答案: A · 选择最早结束的活动，然后在与之相容的活动中重复这一步

为什么是这个答案

选择最早结束时间可以用交换论证证明是最优的；其他规则都有反例。

答案

A · 选择最早结束的活动，然后在与之相容的活动中重复这一步
2.算法与复杂度

答案: D · 不属于，因为 22n = 4ⁿ，而 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ 无界地增长

为什么是这个答案

在指数上加一个常数只得到一个常数因子，但用常数乘以指数会改变底数和增长率。

答案

D · 不属于，因为 22n = 4ⁿ，而 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ 无界地增长
3.数据结构

答案: C · O(V²)

为什么是这个答案

邻接矩阵存储 V × V 个元素，适合稠密图；邻接表占用 O(V + E)，更适合稀疏图。

答案

C · O(V²)
4.数据结构

答案: B · 所有记录都在相互链接的叶子中，使范围扫描很高效

为什么是这个答案

在 B+ 树中，内部节点只用于引导查找，叶子按键的顺序链接起来，因此范围查询先找到第一个键，再沿着叶子向后走。

答案

B · 所有记录都在相互链接的叶子中，使范围扫描很高效
5.图论

答案: k = 8

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

生成树的边数

7 − 1 = 6

要去掉的边数

k = 14 − 6 = 8

答案

k = 8
6.图论

答案: E

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

1. A (0): B: 10
2. B (10): C: 22, D: 13, G: 25
3. D (13): E: 20, G: 23
4. E (20): F: 32
5. C (22)
6. G (23)
7. F (32)

轮 4

E

答案

E

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms