数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

下面代码的时间复杂度是多少：for i = 1 to n: for j = 1 to i: 执行 O(1) 的工作？

  1. AO(n²)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n³)
  4. DO(n)
2.算法与复杂度困难

一个问题是 NP 完全（NP-complete）的，当且仅当它：

  1. A不属于 NP，但比所有 NP 问题都难，例如停机问题
  2. B属于 NP，且所有 NP 问题都能在多项式时间内归约到它
  3. C可以在多项式时间内解决
  4. D不可能被解决
3.数据结构中等

哈希表在负载因子超过阈值后进行再哈希（rehash）时会发生什么？

  1. A只把发生冲突的键移到表末尾的新溢出链表中
  2. B分配一个更大的表，并把每个键重新插入
  3. C对现有的键原地排序
  4. D删除最旧的键以腾出空间
4.数据结构困难

一个对象作为键存储在哈希映射中，之后其哈希函数所用的一个字段被修改了。可能的结果是什么？

  1. A映射会自动把该键移到新的桶中
  2. B什么都不会改变，因为键的哈希只在程序启动时计算一次
  3. C字段改变的那一刻映射就会抛出错误
  4. D查找该对象可能失败，因为它位于按旧哈希值确定的桶中
5.图论中等
ABCDEFG欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 7|E| = 7
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
620784121410ABCDEF

求带权图的最小生成树的总权重 W。

|V| = 6|E| = 8
W =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: A · O(n²)

为什么是这个答案

内层循环体总共执行 n(n + 1) / 2 次，仍然是平方级的。

答案

A · O(n²)
2.算法与复杂度

答案: B · 属于 NP，且所有 NP 问题都能在多项式时间内归约到它

为什么是这个答案

NP 完全问题是 NP 中最难的问题；只要其中一个有多项式算法，整个 NP 就都有多项式算法。

答案

B · 属于 NP，且所有 NP 问题都能在多项式时间内归约到它
3.数据结构

答案: B · 分配一个更大的表，并把每个键重新插入

为什么是这个答案

由于下标是对表大小取模计算的，所有键都必须重新哈希到新的更大的表中；采用翻倍策略时，均摊代价仍为 O(1)。

答案

B · 分配一个更大的表，并把每个键重新插入
4.数据结构

答案: D · 查找该对象可能失败，因为它位于按旧哈希值确定的桶中

为什么是这个答案

键的位置是按其旧哈希值选定的；有了新的哈希值，查找会在错误的桶中搜索，因此键应当是不可变的。

答案

D · 查找该对象可能失败，因为它位于按旧哈希值确定的桶中
5.图论

答案: 都不是

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 1, deg(G) = 3

奇度顶点

A, E, F, G → 4
都不是

答案

都不是
6.图论

答案: W = 39

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

CE (4): 取
AB (6): 取
BC (7): 取
BD (8): 取
BE (10): 跳过，会形成圈
DE (12): 跳过，会形成圈
DF (14): 取

总权重

W = 4 + 6 + 7 + 8 + 14 = 39

答案

W = 39

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