数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

关于一个没有可达基本情况的递归函数，下列哪个说法是正确的？

  1. A它的运行时间为 O(1)
  2. B它会不断调用自身，直到调用栈溢出
  3. C编译器总会把它变成能安全结束的循环
  4. D它会自动返回 0
2.算法与复杂度困难

22n 属于 O(2ⁿ) 吗？

  1. A属于，因为两者都是指数级的
  2. B不属于，因为 22n = 4ⁿ，而 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ 无界地增长
  3. C不属于，因为 22n 增长得比 2ⁿ 慢
  4. D属于，因为在 Big O 中指数里的常数因子总是被忽略
3.数据结构中等

为什么在实践中遍历数组往往比遍历同样长度的链表快得多？

  1. A数组比较数值所用的指令更少
  2. B数组遍历总共是 O(1)，而链表遍历是 O(n)
  3. C数组元素是连续存放的，因此能很好地利用 CPU 缓存
  4. D链表总是把元素存储在磁盘上
4.数据结构困难

你必须用 O(k) 的内存从 n 个数的数据流中保留最小的 k 个值。哪种方法能在 O(n log k) 时间内完成？

  1. A一个包含全部 n 个值的有序数组
  2. B一个保存全部 n 个值的最小堆，最后从中弹出 k 个最小值
  3. C一个大小为 k 的最大堆，当出现更小的值时替换其根
  4. D一个保存最后 k 个值的 FIFO 队列
5.图论中等

一个连通图有 20 个顶点和 31 条边。必须去掉多少条边 k 才能剩下一棵生成树？

|V| = 20|E| = 31
k =
6.图论困难
ABCDE

长度为 2 且起点和终点都是 B 的闭途径有多少条？途径可以重复顶点和边。把这个数记作 N。

M = 邻接矩阵L = 2
N =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: B · 它会不断调用自身，直到调用栈溢出

为什么是这个答案

没有基本情况，递归就永远不会停止；实际上栈帧所需的内存会耗尽，程序随之崩溃。

答案

B · 它会不断调用自身，直到调用栈溢出
2.算法与复杂度

答案: B · 不属于，因为 22n = 4ⁿ，而 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ 无界地增长

为什么是这个答案

在指数上加一个常数只得到一个常数因子，但用常数乘以指数会改变底数和增长率。

答案

B · 不属于，因为 22n = 4ⁿ，而 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ 无界地增长
3.数据结构

答案: C · 数组元素是连续存放的，因此能很好地利用 CPU 缓存

为什么是这个答案

连续的内存带来良好的引用局部性，而链表节点可能分散各处，导致大量缓存未命中。

答案

C · 数组元素是连续存放的，因此能很好地利用 CPU 缓存
4.数据结构

答案: C · 一个大小为 k 的最大堆，当出现更小的值时替换其根

为什么是这个答案

最大堆的根是所保留值中最大的；任何更小的新值都以 O(log k) 替换它，因此堆中始终保存着迄今为止最小的 k 个值。

答案

C · 一个大小为 k 的最大堆，当出现更小的值时替换其根
5.图论

答案: k = 12

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

生成树的边数

20 − 1 = 19

要去掉的边数

k = 31 − 19 = 12

答案

k = 12
6.图论

答案: N = 3

度：顶点的度是与它相连的边的条数。每条边有两个端点，所以度数之和等于边数的两倍：Σ deg(v) = 2|E|（握手引理）。因此奇度顶点的个数是偶数。Kn 有 n(n − 1)/2 条边，n 个顶点的 k-正则图有 nk/2 条边，n 个顶点的树有 n − 1 条边。

邻接矩阵

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 0
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 0 1 1 0

公共邻点

(M²)BB = 1·1 + 0·0 + 1·1 + 1·1 + 0·0 = 3

答案

N = 3

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