数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

为什么许多库排序函数在子数组很小时会改用插入排序？

  1. A插入排序开销小，在小规模或几乎有序的输入上很快
  2. B在大规模输入上，插入排序比任何其他排序算法使用的内存都少
  3. C递归算法无法处理少于 10 个元素的数组
  4. D插入排序在最坏情况下是 O(n log n)
2.算法与复杂度困难

旅行商问题如何分类？

  1. A它是不可判定的
  2. B判定版本是 NP 完全的，优化版本是 NP 难的
  3. C判定版本属于 P，但优化版本是 NP 完全的
  4. D它属于 P，因为 Dijkstra 算法通过把每个城市访问一次来求解它
3.数据结构中等

一棵高度为 h（以边数计）的满二叉树有多少个节点？

  1. Ah2
  2. B2h
  3. C2h + 1
  4. D2h+1 − 1
4.数据结构困难

在二叉堆中（已知元素位置），decrease-key 操作的时间复杂度是：

  1. AO(log n)
  2. BO(1)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n)
5.图论中等

完全图 K5 有多少条不同的哈密顿回路 H？只是起点或方向不同的回路算作同一条。

K5
H =
6.图论困难
744101011121413ABCDEFG

迪杰斯特拉算法从 A 开始运行。点选在第 5 轮被确定（成为永久标号）的顶点；A 本身是第 1 轮。

起点：A轮 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3溶液

1.算法与复杂度

答案: A · 插入排序开销小，在小规模或几乎有序的输入上很快

为什么是这个答案

对于很小的 n，插入排序的简单循环胜过快速排序或归并排序的递归开销，尽管它是 O(n²)。

答案

A · 插入排序开销小，在小规模或几乎有序的输入上很快
2.算法与复杂度

答案: B · 判定版本是 NP 完全的，优化版本是 NP 难的

为什么是这个答案

"是否存在长度至多为 k 的回路？"是 NP 完全的；求最短回路是 NP 难的，因为它至少同样困难。

答案

B · 判定版本是 NP 完全的，优化版本是 NP 难的
3.数据结构

答案: D · 2h+1 − 1

为什么是这个答案

求和 1 + 2 + 4 + ... + 2h 得到 2h+1 − 1；例如，高度为 2 时有 7 个节点。

答案

D · 2h+1 − 1
4.数据结构

答案: A · O(log n)

为什么是这个答案

减小键值后，元素最多上浮（sift up）堆的高度那么多层。斐波那契堆可实现均摊 O(1) 的 decrease-key。

答案

A · O(log n)
5.图论

答案: H = 12

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

计数

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

答案

H = 12
6.图论

答案: D

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

1. A (0): C: 7
2. C (7): B: 11, E: 17, G: 9
3. G (9): D: 23
4. B (11): D: 15
5. D (15): F: 16
6. F (16)
7. E (17)

轮 5

D

答案

D

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