数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

在边权非负的图中，哪种算法用于求单源最短路径？

  1. A任何情况下都必须使用 Bellman–Ford
  2. BDijkstra 算法
  3. C深度优先搜索（DFS）
  4. DKruskal 算法
2.算法与复杂度困难

停机问题（halting problem）表明：

  1. A应当避免使用循环
  2. B不存在一种算法能对所有程序和输入判定其是否会停机
  3. C每个程序最终都会停机
  4. D有些程序在更快的计算机上运行得更快，所以是否停机取决于硬件
3.数据结构中等

在二叉最小堆中，extract-min 是如何工作的？

  1. A在所有叶子中查找新的最小值
  2. B删除数组的最后一个元素
  3. C把最后一个元素移到根上，再将其下沉
  4. D删除根，并把所有元素左移一位
4.数据结构困难

与有序链表相比，跳表（skip list）的主要优势是什么？

  1. A保证 O(1) 的查找，因为每个节点都存有指向其他所有节点的指针
  2. B利用多层前向指针，实现期望 O(log n) 的查找
  3. C它不占用额外内存
  4. D它以无序方式存储键
5.图论中等
ABCDEFG欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 7|E| = 7
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
91366111013311ABCDEFG

迪杰斯特拉算法从 A 开始运行。点选在第 6 轮被确定（成为永久标号）的顶点；A 本身是第 1 轮。

起点：A轮 6
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3溶液

1.算法与复杂度

答案: B · Dijkstra 算法

为什么是这个答案

Dijkstra 算法适用于非负权重；Bellman–Ford 能处理负权重；Kruskal 用于构建最小生成树。

答案

B · Dijkstra 算法
2.算法与复杂度

答案: B · 不存在一种算法能对所有程序和输入判定其是否会停机

为什么是这个答案

Turing 证明了停机问题是不可判定的（undecidable）：假设存在判定器，就会与一个做相反行为的程序产生矛盾。

答案

B · 不存在一种算法能对所有程序和输入判定其是否会停机
3.数据结构

答案: C · 把最后一个元素移到根上，再将其下沉

为什么是这个答案

最后一个元素填补根上的空位，并与其较小的子节点交换，直到满足堆性质，耗时 O(log n)。

答案

C · 把最后一个元素移到根上，再将其下沉
4.数据结构

答案: B · 利用多层前向指针，实现期望 O(log n) 的查找

为什么是这个答案

随机化的层级使查找能够跳过许多节点，从而使查找、插入和删除的期望时间为 O(log n)。

答案

B · 利用多层前向指针，实现期望 O(log n) 的查找
5.图论

答案: 都不是

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 3, deg(F) = 1, deg(G) = 2

奇度顶点

A, B, C, D, E, F → 6
都不是

答案

都不是
6.图论

答案: E

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

1. A (0): B: 9, C: 13
2. B (9): D: 15, G: 20
3. C (13): E: 24
4. D (15): F: 28
5. G (20)
6. E (24): F: 27
7. F (27)

轮 6

E

答案

E

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