数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

贪心算法（greedy algorithm）：

  1. A在每一步都做出局部最优的选择
  2. B尝试所有可能的解
  3. C只使用递归
  4. D总能给出最优解
2.算法与复杂度困难

用一个只保留最后两个值的循环计算第 n 个斐波那契数，时间和空间代价各是多少？

  1. AO(2ⁿ) 时间和 O(1) 空间
  2. BO(n) 时间和 O(n) 空间
  3. CO(n) 时间和 O(1) 空间
  4. DO(log n) 时间和 O(n) 空间
3.数据结构中等

如何向二叉堆中插入一个新元素？

  1. A通过把所有更大的元素右移一位，将它插入到有序位置
  2. B把它放在数组末尾，只要它违反堆性质就将其上浮（sift up）
  3. C把它放在根上，再将其下沉（sift down）
  4. D从头重建整个堆
4.数据结构困难

为什么数据库常用 B+ 树而不是普通的 B 树来建立索引？

  1. AB+ 树不需要保持平衡
  2. BB+ 树使用二叉内部节点，从而减少磁盘读取次数
  3. C所有记录都在相互链接的叶子中，使范围扫描很高效
  4. DB+ 树只在根中存储数据
5.图论中等

一棵树有 4 个度为 3 的顶点，其余所有顶点都是叶子（度为 1）。它有多少片叶子 L？

4 × deg 3
L =
6.图论困难
14213121104415ABCDEFG

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 D 的最短路径的长度 d(D)。

起点：A终点：D
d(D) =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: A · 在每一步都做出局部最优的选择

为什么是这个答案

贪心算法速度快，对某些问题是最优的（例如 Dijkstra、Huffman 编码），但一般情况下并非如此（例如某些硬币体系下的找零问题）。

答案

A · 在每一步都做出局部最优的选择
2.算法与复杂度

答案: C · O(n) 时间和 O(1) 空间

为什么是这个答案

每一步只需要前两个值，因此自底向上方法中的表格可以用两个变量代替。

答案

C · O(n) 时间和 O(1) 空间
3.数据结构

答案: B · 把它放在数组末尾，只要它违反堆性质就将其上浮（sift up）

为什么是这个答案

在末尾添加可以使树保持完全；与父节点交换可在 O(log n) 步内恢复顺序。

答案

B · 把它放在数组末尾，只要它违反堆性质就将其上浮（sift up）
4.数据结构

答案: C · 所有记录都在相互链接的叶子中，使范围扫描很高效

为什么是这个答案

在 B+ 树中，内部节点只用于引导查找，叶子按键的顺序链接起来，因此范围查询先找到第一个键，再沿着叶子向后走。

答案

C · 所有记录都在相互链接的叶子中，使范围扫描很高效
5.图论

答案: L = 6

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

树的握手引理

L + 12 = 2(L + 4) − 2
L = 6

答案

L = 6

捷径：L = 2 + Σ (d − 2)，对度 d ≥ 3 的顶点求和。

6.图论

答案: d(D) = 6

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 14, C: 2
C (2): B: 3, E: 14, G: 6
B (3): D: 6
D (6): E: 7, F: 16
G (6)
E (7)
F (16)

最短路径

A → C → B → D
d(D) = 6

答案

d(D) = 6

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms