数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

贪心算法（greedy algorithm）：

  1. A在每一步都做出局部最优的选择
  2. B总能给出最优解
  3. C尝试所有可能的解
  4. D只使用递归
2.算法与复杂度困难

关于在无序数组中选择第 k 小的元素，下列哪个说法是正确的？

  1. A选择只能在 O(n²) 内完成
  2. B快速选择的最坏情况为 O(log n)，因为它只对枢轴的一侧递归
  3. C选择总是需要 Ω(n log n)，因为必须先排序
  4. D快速选择的期望时间为 O(n)，而中位数的中位数法保证最坏情况为 O(n)
3.数据结构中等

AVL 树在每个节点上维持什么平衡条件？

  1. A每个节点的两棵子树包含完全相同数量的节点
  2. B左右子树的高度之差至多为 1
  3. C所有叶子都恰好位于同一深度
  4. D每个节点都被着成红色或黑色
4.数据结构困难

为什么服务器可能会从一个通用哈希函数族中随机选择其哈希函数？

  1. A使哈希表有序
  2. B免去对表进行扩容的需要
  3. C使攻击者极难选出许多全部发生冲突的键
  4. D保证任何两个键永远不会发生冲突，无论攻击者发送什么键
5.图论中等
ABCDE欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 5|E| = 6
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
112131514548ABCDEF

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 E 的最短路径的长度 d(E)。

起点：A终点：E
d(E) =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: A · 在每一步都做出局部最优的选择

为什么是这个答案

贪心算法速度快，对某些问题是最优的（例如 Dijkstra、Huffman 编码），但一般情况下并非如此（例如某些硬币体系下的找零问题）。

答案

A · 在每一步都做出局部最优的选择
2.算法与复杂度

答案: D · 快速选择的期望时间为 O(n)，而中位数的中位数法保证最坏情况为 O(n)

为什么是这个答案

使用随机基准时，快速选择的期望工作量为 n + n/2 + n/4 + ... = O(n)；把基准选为中位数的中位数可使最坏情况为线性。

答案

D · 快速选择的期望时间为 O(n)，而中位数的中位数法保证最坏情况为 O(n)
3.数据结构

答案: B · 左右子树的高度之差至多为 1

为什么是这个答案

平衡因子（左子树高度 − 右子树高度）必须为 −1、0 或 1；插入和删除之后通过旋转来恢复平衡。

答案

B · 左右子树的高度之差至多为 1
4.数据结构

答案: C · 使攻击者极难选出许多全部发生冲突的键

为什么是这个答案

使用通用哈希时，对于任何键集合，冲突的期望次数都很小，因为攻击者不知道选择的是哪个函数。

答案

C · 使攻击者极难选出许多全部发生冲突的键
5.图论

答案: 都不是

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3

奇度顶点

A, B, C, E → 4
都不是

答案

都不是
6.图论

答案: d(E) = 17

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 11, C: 2
C (2): E: 17
B (11): D: 24
E (17): F: 21
F (21)
D (24)

最短路径

A → C → E
d(E) = 17

答案

d(E) = 17

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