数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

用自底向上的表格计算第 n 个斐波那契数，时间复杂度是多少？

  1. AO(n)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.算法与复杂度困难

不可判定问题与难解问题有什么区别？

  1. A难解问题无法被任何算法求解，而不可判定问题只需要指数时间
  2. B两者都意味着该问题根本没有算法
  3. C不可判定问题属于 NP，而难解问题属于 P
  4. D不可判定问题没有任何能处理所有输入的算法，而难解问题有算法，但太慢
3.数据结构中等

链表中哨兵（哑）节点的作用是什么？

  1. A存储元素的个数
  2. B防止链表增长超过固定的最大节点数
  3. C使链表有序
  4. D通过消除头部或尾部的特殊情况来简化代码
4.数据结构困难

要使哈希表正确工作，哈希与相等性必须遵守哪条规则？

  1. A相等的键必须具有相等的哈希值
  2. B哈希值相等意味着键相等
  3. C哈希值必须是素数
  4. D不同的键必须具有不同的哈希值
5.图论中等

一棵树有 3 个度为 3 的顶点, 4 个度为 4 的顶点, 3 个度为 5 的顶点, 3 个度为 2 的顶点，其余所有顶点都是叶子（度为 1）。它有多少片叶子 L？

3 × deg 34 × deg 43 × deg 53 × deg 2
L =
6.图论困难
13148942124ABCDEF

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 F 的最短路径的长度 d(F)。

起点：A终点：F
d(F) =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: A · O(n)

为什么是这个答案

从 0 到 n 填表时每项只需一次加法，因此工作量是线性的，而不是指数级的。

答案

A · O(n)
2.算法与复杂度

答案: D · 不可判定问题没有任何能处理所有输入的算法，而难解问题有算法，但太慢

为什么是这个答案

停机问题根本没有算法；TSP 这样的 NP 难问题可以用蛮力法求解，只是没有已知的多项式时间算法。

答案

D · 不可判定问题没有任何能处理所有输入的算法，而难解问题有算法，但太慢
3.数据结构

答案: D · 通过消除头部或尾部的特殊情况来简化代码

为什么是这个答案

有了哨兵节点，每个真实节点都有前驱，因此在头部插入或删除无需特殊处理。

答案

D · 通过消除头部或尾部的特殊情况来简化代码
4.数据结构

答案: A · 相等的键必须具有相等的哈希值

为什么是这个答案

如果两个相等的键哈希值不同，它们就会被存储在不同的桶中，查找就会失败；不相等的键仍然可以共用一个哈希值。

答案

A · 相等的键必须具有相等的哈希值
5.图论

答案: L = 22

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

树的握手引理

L + 46 = 2(L + 13) − 2
L = 22

答案

L = 22

捷径：L = 2 + Σ (d − 2)，对度 d ≥ 3 的顶点求和。

6.图论

答案: d(F) = 31

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 13, C: 14
B (13): D: 22, E: 17
C (14)
E (17): D: 19
D (19): F: 31
F (31)

最短路径

A → B → E → D → F
d(F) = 31

答案

d(F) = 31

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