数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

Floyd–Warshall 算法计算什么？速度如何？

  1. A以 O(V²) 计算拓扑序
  2. B以 O(V + E) 计算从一个源顶点到所有其他顶点的最短路径
  3. C以 O(E log V) 计算最小生成树
  4. D以 O(V³) 计算所有顶点对之间的最短路径
2.算法与复杂度困难

对于哪种背包问题变体，贪心规则"按单位重量价值的顺序取物品"总能给出最优解？

  1. A分数背包问题，物品可以分割
  2. B0/1 背包问题，物品必须整个拿取
  3. C两种变体都可以
  4. D两种变体都不可以
3.数据结构中等

对于有 V 个顶点、E 条边的图，邻接表占用多少内存？

  1. AO(V + E)
  2. BO(V²)
  3. CO(E²)
  4. DO(V × E)
4.数据结构困难

红黑树的规则对含 n 个键的树的高度给出了什么保证？

  1. A高度至多为 2 log2(n + 1)
  2. B高度恰好为 log2 n
  3. C高度至多为 n / 2
  4. D高度至多为 log2 n + 1
5.图论中等

一个连通图有 12 个顶点和 18 条边。必须去掉多少条边 k 才能剩下一棵生成树？

|V| = 12|E| = 18
k =
6.图论困难
ABCDEF

长度为 2 且起点和终点都是 F 的闭途径有多少条？途径可以重复顶点和边。把这个数记作 N。

M = 邻接矩阵L = 2
N =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: D · 以 O(V³) 计算所有顶点对之间的最短路径

为什么是这个答案

Floyd–Warshall 是一种动态规划算法，依次允许每个顶点作为中间点，耗时 O(V³)。

答案

D · 以 O(V³) 计算所有顶点对之间的最短路径
2.算法与复杂度

答案: A · 分数背包问题，物品可以分割

为什么是这个答案

物品可以分割时，先取比值最高的物品是最优的；在 0/1 背包中，一个比值高的物品可能挡住更好的组合，因此需要动态规划。

答案

A · 分数背包问题，物品可以分割
3.数据结构

答案: A · O(V + E)

为什么是这个答案

每个顶点有一个列表，每条边出现一次（有向图）或两次（无向图），因此为 O(V + E)。

答案

A · O(V + E)
4.数据结构

答案: A · 高度至多为 2 log2(n + 1)

为什么是这个答案

每条路径上的黑色节点数相同，且红色节点不能相邻，因此最长路径至多是最短路径的两倍，从而高度为 O(log n)。

答案

A · 高度至多为 2 log2(n + 1)
5.图论

答案: k = 7

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

生成树的边数

12 − 1 = 11

要去掉的边数

k = 18 − 11 = 7

答案

k = 7
6.图论

答案: N = 2

度：顶点的度是与它相连的边的条数。每条边有两个端点，所以度数之和等于边数的两倍：Σ deg(v) = 2|E|（握手引理）。因此奇度顶点的个数是偶数。Kn 有 n(n − 1)/2 条边，n 个顶点的 k-正则图有 nk/2 条边，n 个顶点的树有 n − 1 条边。

邻接矩阵

A: 0 0 1 0 0 0
B: 0 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 0 1
E: 0 1 1 0 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

公共邻点

(M²)FF = 0·0 + 0·0 + 0·0 + 1·1 + 1·1 + 0·0 = 2

答案

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms