数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

硬币面值为 1、3 和 4，金额为 6，贪心的"先取最大硬币"方法使用多少枚硬币？与最优解相比如何？

  1. A贪心用 3 枚；最优解是 2 枚
  2. B贪心用 2 枚；最优解是 2 枚
  3. C贪心用 3 枚；最优解是 3 枚
  4. D贪心用 4 枚；最优解是 3 枚
2.算法与复杂度困难

取一个极大匹配中每条边的两个端点，可以得到一个顶点覆盖。这个覆盖有多好？

  1. A与最优解相比质量未知
  2. B至多是最小顶点覆盖大小的两倍
  3. C至多是最小值的 log n 倍
  4. D总是一个最小顶点覆盖
3.数据结构中等

在一个有 n 个元素的数组中间插入一个元素，代价是多少？

  1. AO(n)，因为后面的元素必须移动
  2. BO(1)，因为下标已知
  3. CO(n²)，因为每个元素要移动 n 次
  4. DO(log n)，因为使用二分查找
4.数据结构困难

一个 AVL 节点失衡，原因是其左子节点的右子树变得过高（左右情况）。应采用哪种修正？

  1. A在该节点处进行一次右旋
  2. B在该节点处进行一次左旋
  3. C先在左子节点处左旋，再在该节点处右旋
  4. D先在左子节点处右旋，再在该节点处左旋
5.图论中等
ABCDEF欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 6|E| = 7
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
181620149121724ABCDEFG

求带权图的最小生成树的总权重 W。

|V| = 7|E| = 9
W =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: A · 贪心用 3 枚；最优解是 2 枚

为什么是这个答案

贪心取 4 + 1 + 1，共 3 枚，而 3 + 3 只用 2 枚，因此对这种硬币体系贪心不是最优的；动态规划才是。

答案

A · 贪心用 3 枚；最优解是 2 枚
2.算法与复杂度

答案: B · 至多是最小顶点覆盖大小的两倍

为什么是这个答案

匹配边之间没有公共顶点，因此最优解对每条边至少需要一个顶点，而这种方法取了两个：这是一个 2-近似算法。

答案

B · 至多是最小顶点覆盖大小的两倍
3.数据结构

答案: A · O(n)，因为后面的元素必须移动

为什么是这个答案

插入点之后的所有元素都要向右移动一位，所需时间与 n 成正比。

答案

A · O(n)，因为后面的元素必须移动
4.数据结构

答案: C · 先在左子节点处左旋，再在该节点处右旋

为什么是这个答案

第一次旋转把左右情况转换为左左情况，然后在失衡节点处右旋即可修正。

答案

C · 先在左子节点处左旋，再在该节点处右旋
5.图论

答案: 欧拉回路

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 2

奇度顶点

0
欧拉回路

答案

欧拉回路
6.图论

答案: W = 65

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

GD (2): 取
GE (4): 取
DE (9): 跳过，会形成圈
DF (12): 取
CE (14): 取
AC (16): 取
GB (17): 取

总权重

W = 2 + 4 + 12 + 14 + 16 + 17 = 65

答案

W = 65

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