数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

一个函数先运行一个 n 次迭代的循环，然后再单独运行另一个 n 次迭代的循环。它的时间复杂度是多少？

  1. AO(n²)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
2.算法与复杂度困难

不可判定问题与难解问题有什么区别？

  1. A不可判定问题属于 NP，而难解问题属于 P
  2. B不可判定问题没有任何能处理所有输入的算法，而难解问题有算法，但太慢
  3. C两者都意味着该问题根本没有算法
  4. D难解问题无法被任何算法求解，而不可判定问题只需要指数时间
3.数据结构中等

运行中的程序使用哪种数据结构来记录活动的函数调用及其局部变量？

  1. A由栈帧组成的二叉搜索树
  2. B堆内存队列
  3. C由函数组成的哈希表
  4. D调用栈
4.数据结构困难

原地反转一个单链表的时间和额外空间代价各是多少？

  1. AO(n) 时间和 O(1) 额外空间
  2. BO(n) 时间和 O(n) 额外空间
  3. CO(1) 时间和 O(1) 额外空间
  4. DO(n log n) 时间和 O(1) 额外空间
5.图论中等
ABCDEF欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 6|E| = 6
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
3461912138ABCDEF

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 F 的最短路径的长度 d(F)。

起点：A终点：F
d(F) =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: D · O(n)

为什么是这个答案

n + n = 2n，去掉常数因子后，该函数为 O(n)。

答案

D · O(n)
2.算法与复杂度

答案: B · 不可判定问题没有任何能处理所有输入的算法，而难解问题有算法，但太慢

为什么是这个答案

停机问题根本没有算法；TSP 这样的 NP 难问题可以用蛮力法求解，只是没有已知的多项式时间算法。

答案

B · 不可判定问题没有任何能处理所有输入的算法，而难解问题有算法，但太慢
3.数据结构

答案: D · 调用栈

为什么是这个答案

每次调用压入一个栈帧，每次返回弹出一个栈帧，这就是最近的调用最先结束的原因。

答案

D · 调用栈
4.数据结构

答案: A · O(n) 时间和 O(1) 额外空间

为什么是这个答案

保持三个指针（previous、current、next），就可以在一次遍历中反转每个链接，而无需分配新节点。

答案

A · O(n) 时间和 O(1) 额外空间
5.图论

答案: 都不是

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 1

奇度顶点

A, B, C, F → 4
都不是

答案

都不是
6.图论

答案: d(F) = 16

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 3, C: 4
B (3): D: 4, E: 11
C (4)
D (4): F: 16
E (11)
F (16)

最短路径

A → B → D → F
d(F) = 16

答案

d(F) = 16

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