数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

递推式 T(n) = T(n − 1) + O(n) 的解是什么？

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n log n)
  4. DO(2ⁿ)
2.算法与复杂度困难

使用主定理，T(n) = 8T(n/2) + O(n²) 的解是：

  1. AΘ(n²)
  2. BΘ(n³)
  3. CΘ(n log n)
  4. DΘ(n² log n)
3.数据结构中等

为什么在实践中遍历数组往往比遍历同样长度的链表快得多？

  1. A数组比较数值所用的指令更少
  2. B链表总是把元素存储在磁盘上
  3. C数组遍历总共是 O(1)，而链表遍历是 O(n)
  4. D数组元素是连续存放的，因此能很好地利用 CPU 缓存
4.数据结构困难

哪条性质使每棵 B 树都保持完全平衡？

  1. A键只存储在根中
  2. B每个节点恰好有两个子节点
  3. C所有叶子都位于同一深度
  4. D每个节点只存储一个键
5.图论中等

一个连通图有 18 个顶点和 20 条边。必须去掉多少条边 k 才能剩下一棵生成树？

|V| = 18|E| = 20
k =
6.图论困难
746954211ABCDEF

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 D 的最短路径的长度 d(D)。

起点：A终点：D
d(D) =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: B · O(n²)

为什么是这个答案

工作量之和约为 n² / 2，这是选择排序的递推式，也是基准最差时快速排序的递推式。

答案

B · O(n²)
2.算法与复杂度

答案: B · Θ(n³)

为什么是这个答案

log₂ 8 = 3，且 n² 比 n³ 增长慢，因此叶子层占主导：Θ(n³)。

答案

B · Θ(n³)
3.数据结构

答案: D · 数组元素是连续存放的，因此能很好地利用 CPU 缓存

为什么是这个答案

连续的内存带来良好的引用局部性，而链表节点可能分散各处，导致大量缓存未命中。

答案

D · 数组元素是连续存放的，因此能很好地利用 CPU 缓存
4.数据结构

答案: C · 所有叶子都位于同一深度

为什么是这个答案

节点满时向上分裂，只有根分裂时树才会变高，因此所有叶子始终处于同一层。

答案

C · 所有叶子都位于同一深度
5.图论

答案: k = 3

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

生成树的边数

18 − 1 = 17

要去掉的边数

k = 20 − 17 = 3

答案

k = 3
6.图论

答案: d(D) = 18

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 7, C: 4
C (4): E: 13
B (7)
E (13): D: 18, F: 15
F (15)
D (18)

最短路径

A → C → E → D
d(D) = 18

答案

d(D) = 18

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