数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

快速排序的最坏情况时间复杂度是多少？

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n²)
2.算法与复杂度困难

为什么哈希表的平均查找时间是 O(1)，而最坏情况是 O(n)？

  1. A键必须先排序
  2. B哈希函数运行很慢
  3. C数组的访问时间是 O(n)
  4. D许多键可能冲突（collision）到同一个桶中
3.数据结构中等

AVL 树和红黑树保证：

  1. A没有节点拥有两个子节点
  2. B键按插入顺序存储
  3. C通过再平衡使高度为 O(log n)
  4. D在任何情况下查找都是常数时间
4.数据结构困难

线段树（segment tree）通常用于：

  1. A在 O(log n) 时间内处理区间查询（如区间求和）和更新
  2. B实现栈
  3. C通过把每个前缀存储在单独的树节点中，按字母顺序对字符串排序
  4. D存储图的边
5.图论中等

完全图 K6 有多少条不同的哈密顿回路 H？只是起点或方向不同的回路算作同一条。

K6
H =
6.图论困难
451115181271913ABCDEFG

普里姆算法从顶点 F 出发构造最小生成树。点选它加入的第 6 条边。

起点：Fk = 6
  1. 1边 AB
  2. 2边 AC
  3. 3边 BC
  4. 4边 BD
  5. 5边 DE
  6. 6边 DF
  7. 7边 GB
  8. 8边 GC
  9. 9边 GD
  10. 10边 GE

3溶液

1.算法与复杂度

答案: D · O(n²)

为什么是这个答案

如果基准一直选得很差（例如输入已排好序且选第一个元素为基准），划分就会不平衡，导致 O(n²)。平均情况为 O(n log n)。

答案

D · O(n²)
2.算法与复杂度

答案: D · 许多键可能冲突（collision）到同一个桶中

为什么是这个答案

在哈希函数和负载因子（load factor）良好的情况下，桶的平均长度很短；恶意构造的输入或较差的哈希可能把所有键放进同一个桶。

答案

D · 许多键可能冲突（collision）到同一个桶中
3.数据结构

答案: C · 通过再平衡使高度为 O(log n)

为什么是这个答案

自平衡树使高度保持对数级，因此查找、插入和删除在最坏情况下都是 O(log n)。

答案

C · 通过再平衡使高度为 O(log n)
4.数据结构

答案: A · 在 O(log n) 时间内处理区间查询（如区间求和）和更新

为什么是这个答案

线段树存储各区间的聚合值，支持在 O(log n) 时间内完成区间查询和单点更新。

答案

A · 在 O(log n) 时间内处理区间查询（如区间求和）和更新
5.图论

答案: H = 60

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

计数

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

答案

H = 60
6.图论

答案: 边 AC

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

普里姆算法

1. DF (12)
2. GD (1)
3. GE (3)
4. GB (7)
5. AB (4)
6. AC (5)

边的序号 6

AC

答案

边 AC

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