数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

用自底向上的表格计算第 n 个斐波那契数，时间复杂度是多少？

  1. AO(log n)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.算法与复杂度困难

拓扑排序只适用于：

  1. A有向无环图（DAG）
  2. B无向图
  3. C带负权重的图
  4. D完全图
3.数据结构中等

检查 "{[()]}" 中的括号是否匹配，使用哪种数据结构？

  1. A哈希表
  2. B栈
  3. C二叉搜索树
  4. D队列
4.数据结构困难

在简单均匀哈希假设下，在含 n 个键、m 个桶的拉链法哈希表中查找的期望时间是多少？

  1. AO(m)
  2. BO(1 + α)，其中 α = n / m
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
5.图论中等
ABCDEF欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 6|E| = 7
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
13311691847155ABCDEFG

求带权图的最小生成树的总权重 W。

|V| = 7|E| = 10
W =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: C · O(n)

为什么是这个答案

从 0 到 n 填表时每项只需一次加法，因此工作量是线性的，而不是指数级的。

答案

C · O(n)
2.算法与复杂度

答案: A · 有向无环图（DAG）

为什么是这个答案

当且仅当有向图中没有环时才存在拓扑序；可以用 DFS 或 Kahn 算法在 O(V + E) 内求出。

答案

A · 有向无环图（DAG）
3.数据结构

答案: B · 栈

为什么是这个答案

遇到左括号就 push，遇到右括号就 pop；右括号必须与弹出的括号匹配，并且最后栈必须为空。

答案

B · 栈
4.数据结构

答案: B · O(1 + α)，其中 α = n / m

为什么是这个答案

计算哈希的代价是 O(1)，链的期望长度为 α，因此通过扩容使 α 有界，就能得到 O(1) 的期望时间。

答案

B · O(1 + α)，其中 α = n / m
5.图论

答案: 有欧拉通路，无回路

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 1

奇度顶点

B, F → 2
有欧拉通路，无回路

答案

有欧拉通路，无回路

欧拉通路从一个奇度顶点出发，在另一个奇度顶点结束。

6.图论

答案: W = 45

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

AC (3): 取
GB (4): 取
GE (5): 取
CE (6): 取
GC (7): 跳过，会形成圈
DE (9): 取
BC (11): 跳过，会形成圈
AB (13): 跳过，会形成圈
GD (15): 跳过，会形成圈
DF (18): 取

总权重

W = 3 + 4 + 5 + 6 + 9 + 18 = 45

答案

W = 45

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