数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

用标准的三重循环计算两个 n × n 矩阵的乘积，时间复杂度是多少？

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n² log n)
  4. DO(n³)
2.算法与复杂度困难

旅行商问题如何分类？

  1. A它是不可判定的
  2. B判定版本是 NP 完全的，优化版本是 NP 难的
  3. C判定版本属于 P，但优化版本是 NP 完全的
  4. D它属于 P，因为 Dijkstra 算法通过把每个城市访问一次来求解它
3.数据结构中等

在存储于容量为 n 的数组中的循环队列里，下标 i 之后的下一个位置如何计算？

  1. Ai + 1
  2. B(i + 1) mod n
  3. C(i − 1) mod n
  4. D2i + 1
4.数据结构困难

建立在 n 个数的数组上的树状数组（Fenwick tree，binary indexed tree）以 O(log n) 支持哪些操作？

  1. A前缀和查询和单个元素更新
  2. B在任意位置插入元素
  3. C以 O(1) 求中位数
  4. D对数组排序和二分查找
5.图论中等
ABCDE欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 5|E| = 6
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
ABCDE

长度为 2 且起点和终点都是 B 的闭途径有多少条？途径可以重复顶点和边。把这个数记作 N。

M = 邻接矩阵L = 2
N =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: D · O(n³)

为什么是这个答案

共有 n² 个元素，每个需要 n 次乘法，因此共 n³ 次运算。

答案

D · O(n³)
2.算法与复杂度

答案: B · 判定版本是 NP 完全的，优化版本是 NP 难的

为什么是这个答案

"是否存在长度至多为 k 的回路？"是 NP 完全的；求最短回路是 NP 难的，因为它至少同样困难。

答案

B · 判定版本是 NP 完全的，优化版本是 NP 难的
3.数据结构

答案: B · (i + 1) mod n

为什么是这个答案

取模运算把下标 n − 1 回绕到 0，因此数组可以被重复使用而无需移动元素。

答案

B · (i + 1) mod n
4.数据结构

答案: A · 前缀和查询和单个元素更新

为什么是这个答案

树状数组存储由每个下标的低位所确定区间上的部分和，因此前缀和与单点更新都只需 O(log n)。

答案

A · 前缀和查询和单个元素更新
5.图论

答案: 都不是

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3

奇度顶点

A, B, C, E → 4
都不是

答案

都不是
6.图论

答案: N = 3

度：顶点的度是与它相连的边的条数。每条边有两个端点，所以度数之和等于边数的两倍：Σ deg(v) = 2|E|（握手引理）。因此奇度顶点的个数是偶数。Kn 有 n(n − 1)/2 条边，n 个顶点的 k-正则图有 nk/2 条边，n 个顶点的树有 n − 1 条边。

邻接矩阵

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 0
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 0 1 1 0

公共邻点

(M²)BB = 1·1 + 0·0 + 1·1 + 1·1 + 0·0 = 3

答案

N = 3

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