数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

下面代码的时间复杂度是多少：for i = 1 to n: (j = 1; while j < n: j = j × 2)？

  1. AO(log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n)
2.算法与复杂度困难

使用主定理，T(n) = 8T(n/2) + O(n²) 的解是：

  1. AΘ(n² log n)
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(n³)
  4. DΘ(n log n)
3.数据结构中等

一个大小为 7 的哈希表使用 h(k) = k mod 7 和线性探测。插入 10 之后，17 存放在哪里？

  1. A下标 3
  2. B下标 0
  3. C下标 6
  4. D下标 4
4.数据结构困难

在使用开放寻址法的哈希表中，为什么删除操作常用"墓碑"（tombstone）标记？

  1. A清空槽位可能会破坏其他键的探测序列
  2. B它能使表变得有序
  3. C出于安全考虑，被删除的键必须永久保留，因此槽位永远不能重用
  4. D墓碑可以加快哈希计算
5.图论中等

一棵树有 4 个度为 4 的顶点, 3 个度为 5 的顶点, 4 个度为 2 的顶点，其余所有顶点都是叶子（度为 1）。它有多少片叶子 L？

4 × deg 43 × deg 54 × deg 2
L =
6.图论困难
15514412710196ABCDEF

普里姆算法从顶点 C 出发构造最小生成树。点选它加入的第 4 条边。

起点：Ck = 4
  1. 1边 AB
  2. 2边 AC
  3. 3边 BC
  4. 4边 BD
  5. 5边 CE
  6. 6边 DE
  7. 7边 DF
  8. 8边 EF
  9. 9边 BE

3溶液

1.算法与复杂度

答案: C · O(n log n)

为什么是这个答案

对外层 n 次迭代中的每一次，内层循环约运行 log₂ n 次，因此总复杂度为 O(n log n)。

答案

C · O(n log n)
2.算法与复杂度

答案: C · Θ(n³)

为什么是这个答案

log₂ 8 = 3，且 n² 比 n³ 增长慢，因此叶子层占主导：Θ(n³)。

答案

C · Θ(n³)
3.数据结构

答案: D · 下标 4

为什么是这个答案

10 mod 7 = 3，17 mod 7 = 3；下标 3 已被占用，因此线性探测尝试下一个槽位，即下标 4。

答案

D · 下标 4
4.数据结构

答案: A · 清空槽位可能会破坏其他键的探测序列

为什么是这个答案

如果被删除的槽位变为空，之后的查找可能会提前停止，从而漏掉探测链中更靠后的键。

答案

A · 清空槽位可能会破坏其他键的探测序列
5.图论

答案: L = 19

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

树的握手引理

L + 39 = 2(L + 11) − 2
L = 19

答案

L = 19

捷径：L = 2 + Σ (d − 2)，对度 d ≥ 3 的顶点求和。

6.图论

答案: 边 BD

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

普里姆算法

1. AC (5)
2. CE (12)
3. BE (6)
4. BD (4)
5. DF (10)

边的序号 4

BD

答案

边 BD

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