数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

递推式 T(n) = T(n/2) + O(1) 的解是什么？

  1. AO(n)
  2. BO(1)
  3. CO(n log n)
  4. DO(log n)
2.算法与复杂度困难

用一个只保留最后两个值的循环计算第 n 个斐波那契数，时间和空间代价各是多少？

  1. AO(n) 时间和 O(n) 空间
  2. BO(2ⁿ) 时间和 O(1) 空间
  3. CO(log n) 时间和 O(n) 空间
  4. DO(n) 时间和 O(1) 空间
3.数据结构中等

对二叉搜索树进行中序遍历时，访问键的顺序是：

  1. A升序排列
  2. B始终为降序
  3. C层序
  4. D插入顺序
4.数据结构困难

用于拓扑排序的 Kahn 算法反复删除入度为 0 的顶点。哪种结构保存这些顶点？

  1. A按出度排序的最大堆
  2. B由入度为 0 的顶点组成的队列（或任何集合）
  3. C记录哪些顶点已被删除的邻接矩阵
  4. D由所有访问过的边组成的栈
5.图论中等
ABCDE欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 5|E| = 6
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
1615651201838107ABCDEFG

求带权图的最小生成树的总权重 W。

|V| = 7|E| = 11
W =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: D · O(log n)

为什么是这个答案

问题规模每一步减半，每步的工作量是常数，因此大约有 log₂ n 步。

答案

D · O(log n)
2.算法与复杂度

答案: D · O(n) 时间和 O(1) 空间

为什么是这个答案

每一步只需要前两个值，因此自底向上方法中的表格可以用两个变量代替。

答案

D · O(n) 时间和 O(1) 空间
3.数据结构

答案: A · 升序排列

为什么是这个答案

先访问左子树，再访问节点，最后访问右子树，可按有序顺序输出 BST 的键。

答案

A · 升序排列
4.数据结构

答案: B · 由入度为 0 的顶点组成的队列（或任何集合）

为什么是这个答案

准备好的顶点保存在队列中；删除一个顶点会降低其邻居的入度，入度降为 0 的邻居被加入队列，总时间为 O(V + E)。

答案

B · 由入度为 0 的顶点组成的队列（或任何集合）
5.图论

答案: 有欧拉通路，无回路

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 2

奇度顶点

C, D → 2
有欧拉通路，无回路

答案

有欧拉通路，无回路

欧拉通路从一个奇度顶点出发，在另一个奇度顶点结束。

6.图论

答案: W = 37

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

CE (1): 取
EF (3): 取
BD (5): 取
BC (6): 取
GE (7): 取
GB (8): 跳过，会形成圈
GC (10): 跳过，会形成圈
AC (15): 取

总权重

W = 1 + 3 + 5 + 6 + 7 + 15 = 37

答案

W = 37

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