数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

当问题具有以下特征时，动态规划（dynamic programming）很有用：

  1. A重叠子问题和最优子结构
  2. B完全没有子问题，因此一步就能解决
  3. C只有一个循环
  4. D只有随机输入
2.算法与复杂度困难

Bellman–Ford 算法如何检测从源点可达的负权环？

  1. A它运行两次 Dijkstra 算法，并比较两次的距离结果
  2. B用深度优先搜索统计环的数量
  3. C在 V − 1 轮之后，检查是否还有边可以被松弛
  4. D检查是否有边的权重为负
3.数据结构中等

如何向二叉堆中插入一个新元素？

  1. A通过把所有更大的元素右移一位，将它插入到有序位置
  2. B从头重建整个堆
  3. C把它放在数组末尾，只要它违反堆性质就将其上浮（sift up）
  4. D把它放在根上，再将其下沉（sift down）
4.数据结构困难

在循环缓冲区中，front == rear 既可能表示空，也可能表示满。区分它们的一种常见方法是什么？

  1. A每当 front 等于 rear 时就始终清空缓冲区，使其状态为空
  2. B使缓冲区大小为 2 的幂
  3. C另外保存一个元素计数，或者始终留一个槽位不用
  4. D把 front 和 rear 存储在同一个变量中
5.图论中等

完全图 K7 有多少条不同的哈密顿回路 H？只是起点或方向不同的回路算作同一条。

K7
H =
6.图论困难
4121913201558ABCDEFG

求带权图的最小生成树的总权重 W。

|V| = 7|E| = 9
W =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: A · 重叠子问题和最优子结构

为什么是这个答案

存储重叠子问题的结果（记忆化或制表）可以避免重复计算，把指数时间算法变成多项式时间算法。

答案

A · 重叠子问题和最优子结构
2.算法与复杂度

答案: C · 在 V − 1 轮之后，检查是否还有边可以被松弛

为什么是这个答案

所有真正的最短距离都会在 V − 1 轮内求出；如果某条边仍能改进，就必然存在负权环。

答案

C · 在 V − 1 轮之后，检查是否还有边可以被松弛
3.数据结构

答案: C · 把它放在数组末尾，只要它违反堆性质就将其上浮（sift up）

为什么是这个答案

在末尾添加可以使树保持完全；与父节点交换可在 O(log n) 步内恢复顺序。

答案

C · 把它放在数组末尾，只要它违反堆性质就将其上浮（sift up）
4.数据结构

答案: C · 另外保存一个元素计数，或者始终留一个槽位不用

为什么是这个答案

有计数时，空表示 count = 0，满表示 count = capacity；留一个空槽时，满定义为 (rear + 1) mod n == front。

答案

C · 另外保存一个元素计数，或者始终留一个槽位不用
5.图论

答案: H = 360

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

计数

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

答案

H = 360
6.图论

答案: W = 40

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

CE (1): 取
DE (3): 取
AB (4): 取
GC (5): 取
GD (8): 跳过，会形成圈
AC (12): 取
EF (15): 取

总权重

W = 1 + 3 + 4 + 5 + 12 + 15 = 40

答案

W = 40

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