数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理: Σ deg(v) = 2|E|
完全图: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正则图: |E| = n·k/2
树与森林: |E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉: 回路：所有顶点度数为偶数；通路：恰有 2 个奇度顶点
K_n 中的哈密顿回路: (n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径: (Mᴸ)_ij

方法

写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

关于一个没有可达基本情况的递归函数，下列哪个说法是正确的？

A它会不断调用自身，直到调用栈溢出
B它的运行时间为 O(1)
C它会自动返回 0
D编译器总会把它变成能安全结束的循环

2.算法与复杂度困难

Karatsuba 乘法满足 T(n) = 3T(n/2) + O(n)。它的解是什么？

AΘ(n log n)
BΘ(n³)
CΘ(n²)
DΘ(n^{log₂ 3})，约为 n^1.585

3.数据结构中等

一个大小为 7 的哈希表使用 h(k) = k mod 7 和线性探测。插入 10 之后，17 存放在哪里？

A下标 0
B下标 6
C下标 4
D下标 3

4.数据结构困难

关于堆排序，下列哪个说法是正确的？

A它在最坏情况下以 O(n log n) 时间原地排序，但不稳定
B它在任何输入上都以 O(n) 时间运行
C它是稳定的，并且需要 O(n) 的额外内存
D它需要一棵二叉搜索树作为额外存储，因此使用 O(n) 的额外内存

5.图论中等

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 6|E| = 9

1欧拉回路
2有欧拉通路，无回路
3都不是

6.图论困难

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 F 的最短路径的长度 d(F)。

起点：A终点：F

d(F) =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: A · 它会不断调用自身，直到调用栈溢出

为什么是这个答案

没有基本情况，递归就永远不会停止；实际上栈帧所需的内存会耗尽，程序随之崩溃。

答案

A · 它会不断调用自身，直到调用栈溢出

2.算法与复杂度

答案: D · Θ(n^{log₂ 3})，约为 n^1.585

为什么是这个答案

由于 log₂ 3 ≈ 1.585 > 1，根据主定理叶子层占主导，因此优于 O(n²) 的竖式乘法。

答案

D · Θ(n^{log₂ 3})，约为 n^1.585

3.数据结构

答案: C · 下标 4

为什么是这个答案

10 mod 7 = 3，17 mod 7 = 3；下标 3 已被占用，因此线性探测尝试下一个槽位，即下标 4。

答案

C · 下标 4

4.数据结构

答案: A · 它在最坏情况下以 O(n log n) 时间原地排序，但不稳定

为什么是这个答案

堆排序先建立最大堆，然后在同一个数组内提取最大值 n 次；远距离的交换可能打乱相等键的顺序。

答案

A · 它在最坏情况下以 O(n log n) 时间原地排序，但不稳定

5.图论

答案: 有欧拉通路，无回路

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；K_n 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 2

奇度顶点

C, D → 2

有欧拉通路，无回路

答案

有欧拉通路，无回路

欧拉通路从一个奇度顶点出发，在另一个奇度顶点结束。

6.图论

答案: d(F) = 27

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 14, C: 7

C (7): E: 15, G: 17

B (14): D: 24

E (15): F: 29

G (17)

D (24): F: 27

F (27)

最短路径

A → B → D → F

d(F) = 27

答案

d(F) = 27

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