数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

对 n 个元素的数组进行归并排序，递归共有多少层？

  1. A约 n / 2 层
  2. B约 log₂ n 层
  3. C约 √n 层
  4. D约 n 层
2.算法与复杂度困难

为什么在单链表上二分查找不能达到 O(log n) 的时间？

  1. A由于不能按下标直接访问，到达中间元素需要 O(n) 步
  2. B链表无法排序
  3. C链表节点上的比较更慢
  4. D二分查找至少需要两倍的内存
3.数据结构中等

为什么二叉堆可以不用任何指针而存储在数组中？

  1. A堆中所有的键都相等
  2. B它是完全二叉树，因此位置遵循简单的下标公式
  3. C堆中的元素从不超过 100 个
  4. D数组会自动使键保持有序，因此不需要指针
4.数据结构困难

对以邻接矩阵存储的、有 V 个顶点的图进行广度优先搜索，运行时间是多少？

  1. AO(V + E)
  2. BO(V²)
  3. CO(E log V)
  4. DO(V)
5.图论中等

一棵树有 2 个度为 3 的顶点, 2 个度为 5 的顶点，其余所有顶点都是叶子（度为 1）。它有多少片叶子 L？

2 × deg 32 × deg 5
L =
6.图论困难
59101414118213ABCDEF

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 F 的最短路径的长度 d(F)。

起点：A终点：F
d(F) =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: B · 约 log₂ n 层

为什么是这个答案

从 n 减半到 1 大约需要 log₂ n 层，每层做 O(n) 的合并工作，因此总复杂度为 O(n log n)。

答案

B · 约 log₂ n 层
2.算法与复杂度

答案: A · 由于不能按下标直接访问，到达中间元素需要 O(n) 步

为什么是这个答案

二分查找需要以 O(1) 访问中间元素；在链表上走到那里需要线性时间，因此总时间为 O(n)。

答案

A · 由于不能按下标直接访问，到达中间元素需要 O(n) 步
3.数据结构

答案: B · 它是完全二叉树，因此位置遵循简单的下标公式

为什么是这个答案

完全性意味着没有空缺，因此下标 i 的子节点总是位于 2i + 1 和 2i + 2。

答案

B · 它是完全二叉树，因此位置遵循简单的下标公式
4.数据结构

答案: B · O(V²)

为什么是这个答案

V 个顶点中的每一个都要扫描一行 V 个元素，因此为 O(V²)；使用邻接表时 BFS 为 O(V + E)。

答案

B · O(V²)
5.图论

答案: L = 10

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

树的握手引理

L + 16 = 2(L + 4) − 2
L = 10

答案

L = 10

捷径：L = 2 + Σ (d − 2)，对度 d ≥ 3 的顶点求和。

6.图论

答案: d(F) = 20

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 5, C: 9
B (5): D: 19, E: 18
C (9)
E (18): F: 20
D (19)
F (20)

最短路径

A → B → E → F
d(F) = 20

答案

d(F) = 20

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