数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

对长度为 m 和 n 的两个字符串求最长公共子序列，标准动态规划算法的时间复杂度是多少？

  1. AO(mn)
  2. BO(m + n)
  3. CO(2m+n)
  4. DO(mn log n)
2.算法与复杂度困难

旅行商问题如何分类？

  1. A它属于 P，因为 Dijkstra 算法通过把每个城市访问一次来求解它
  2. B它是不可判定的
  3. C判定版本是 NP 完全的，优化版本是 NP 难的
  4. D判定版本属于 P，但优化版本是 NP 完全的
3.数据结构中等

在二叉最小堆中，extract-min 是如何工作的？

  1. A把最后一个元素移到根上，再将其下沉
  2. B删除根，并把所有元素左移一位
  3. C在所有叶子中查找新的最小值
  4. D删除数组的最后一个元素
4.数据结构困难

哪种结构能以总共 O(n) 的时间求出数组中每个大小为 k 的窗口的最大值？

  1. A由窗口元素组成的单链表
  2. B一个按值递减顺序保存下标的双端队列
  3. C通过移动元素来更新的有序数组
  4. D为每个窗口重建的最小堆
5.图论中等
ABCDEF欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 6|E| = 7
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
1381518103116ABCDEF

求带权图的最小生成树的总权重 W。

|V| = 6|E| = 8
W =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: A · O(mn)

为什么是这个答案

表格有 (m + 1)(n + 1) 个单元，每个单元都由相邻单元在 O(1) 内算出。

答案

A · O(mn)
2.算法与复杂度

答案: C · 判定版本是 NP 完全的，优化版本是 NP 难的

为什么是这个答案

"是否存在长度至多为 k 的回路？"是 NP 完全的；求最短回路是 NP 难的，因为它至少同样困难。

答案

C · 判定版本是 NP 完全的，优化版本是 NP 难的
3.数据结构

答案: A · 把最后一个元素移到根上，再将其下沉

为什么是这个答案

最后一个元素填补根上的空位，并与其较小的子节点交换，直到满足堆性质，耗时 O(log n)。

答案

A · 把最后一个元素移到根上，再将其下沉
4.数据结构

答案: B · 一个按值递减顺序保存下标的双端队列

为什么是这个答案

双端队列的队首始终是窗口的最大值；每个下标进出双端队列各一次，因此工作量是线性的。

答案

B · 一个按值递减顺序保存下标的双端队列
5.图论

答案: 有欧拉通路，无回路

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 1

奇度顶点

A, F → 2
有欧拉通路，无回路

答案

有欧拉通路，无回路

欧拉通路从一个奇度顶点出发，在另一个奇度顶点结束。

6.图论

答案: W = 40

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

DF (3): 取
BE (6): 取
AC (8): 取
DE (10): 取
EF (11): 跳过，会形成圈
AB (13): 取

总权重

W = 3 + 6 + 8 + 10 + 13 = 40

答案

W = 40

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms