数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

递推式 T(n) = T(n − 1) + O(1) 的解是什么？

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(2ⁿ)
2.算法与复杂度困难

递推式 T(n) = 2T(n/2) + n log n 的解是什么？

  1. AΘ(n²)
  2. BΘ(n)
  3. CΘ(n log n)
  4. DΘ(n log² n)
3.数据结构中等

字典树（Trie，前缀树）特别适合用于：

  1. A对数字排序
  2. B求最短路径
  3. C存储矩阵
  4. D自动补全等前缀查找
4.数据结构困难

伸展树（splay tree）在每次访问之后做什么？

  1. A把被访问的节点移到叶子
  2. B对查找路径上的节点重新着色
  3. C把整棵树重建成平衡形式
  4. D通过旋转把被访问的节点移到根
5.图论中等
ABCDEF欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 6|E| = 6
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
122288662ABCDEF

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 D 的最短路径的长度 d(D)。

起点：A终点：D
d(D) =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: B · O(n)

为什么是这个答案

共有 n 层，每层的工作量是常数，例如递归地对数组求和。

答案

B · O(n)
2.算法与复杂度

答案: D · Θ(n log² n)

为什么是这个答案

第 k 层的工作量约为 n log(n / 2ᵏ)，对 log n 层求和得到 Θ(n log² n)，这是主定理第二种情况的推广形式。

答案

D · Θ(n log² n)
3.数据结构

答案: D · 自动补全等前缀查找

为什么是这个答案

字典树沿路径按字符存储字符串，因此查找和前缀查询的时间与键的长度成正比。

答案

D · 自动补全等前缀查找
4.数据结构

答案: D · 通过旋转把被访问的节点移到根

为什么是这个答案

伸展操作通过旋转把被访问的节点移到根；单次操作可能代价为 O(n)，但均摊代价为 O(log n)。

答案

D · 通过旋转把被访问的节点移到根
5.图论

答案: 有欧拉通路，无回路

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 1

奇度顶点

A, F → 2
有欧拉通路，无回路

答案

有欧拉通路，无回路

欧拉通路从一个奇度顶点出发，在另一个奇度顶点结束。

6.图论

答案: d(D) = 16

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): C: 12
C (12): B: 14, E: 20
B (14): D: 16, E: 16
D (16): F: 22
E (16)
F (22)

最短路径

A → C → B → D
d(D) = 16

答案

d(D) = 16

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