数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

快速排序总是使用第一个元素作为基准。它在哪种输入上表现出最坏情况？

  1. A随机顺序的数组
  2. B所有元素都不相同的数组
  3. C长度为 2 的数组
  4. D已经有序的数组
2.算法与复杂度困难

关于在无序数组中选择第 k 小的元素，下列哪个说法是正确的？

  1. A快速选择的期望时间为 O(n)，而中位数的中位数法保证最坏情况为 O(n)
  2. B选择总是需要 Ω(n log n)，因为必须先排序
  3. C快速选择的最坏情况为 O(log n)，因为它只对枢轴的一侧递归
  4. D选择只能在 O(n²) 内完成
3.数据结构中等

Dijkstra 算法使用哪种抽象数据类型来选择下一个要处理的顶点？

  1. A栈
  2. BFIFO 队列
  3. C无序集合
  4. D最小优先队列
4.数据结构困难

基数树（压缩字典树）相比普通字典树有什么改进？

  1. A它按频率对每个节点的子节点排序
  2. B它把每个单词存储在根处的哈希表中，而不是存储在单独的节点中
  3. C它只保留每个单词的首字母
  4. D它把单子节点链合并为一条以字符串标记的边
5.图论中等

一个连通图有 18 个顶点和 25 条边。必须去掉多少条边 k 才能剩下一棵生成树？

|V| = 18|E| = 25
k =
6.图论困难
4921311121314ABCDEFG

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 D 的最短路径的长度 d(D)。

起点：A终点：D
d(D) =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: D · 已经有序的数组

为什么是这个答案

在有序输入上，基准总是最小值，因此一侧为空，另一侧有 n − 1 个元素，结果为 O(n²)。

答案

D · 已经有序的数组
2.算法与复杂度

答案: A · 快速选择的期望时间为 O(n)，而中位数的中位数法保证最坏情况为 O(n)

为什么是这个答案

使用随机基准时，快速选择的期望工作量为 n + n/2 + n/4 + ... = O(n)；把基准选为中位数的中位数可使最坏情况为线性。

答案

A · 快速选择的期望时间为 O(n)，而中位数的中位数法保证最坏情况为 O(n)
3.数据结构

答案: D · 最小优先队列

为什么是这个答案

最小优先队列（通常是二叉堆）能高效地返回距离最小的未访问顶点。

答案

D · 最小优先队列
4.数据结构

答案: D · 它把单子节点链合并为一条以字符串标记的边

为什么是这个答案

合并没有分支的路径可以减少节点数和内存占用，同时保留前缀查找功能。

答案

D · 它把单子节点链合并为一条以字符串标记的边
5.图论

答案: k = 8

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

生成树的边数

18 − 1 = 17

要去掉的边数

k = 25 − 17 = 8

答案

k = 8
6.图论

答案: d(D) = 8

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 4
B (4): D: 13, G: 5
G (5): D: 8, E: 19
D (8): F: 19
E (19): C: 21
F (19)
C (21)

最短路径

A → B → G → D
d(D) = 8

答案

d(D) = 8

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms